下面我就按照傅里叶-->短时傅里叶变换-->小波变换的顺序，讲一下为什么会出现小波这个东西、小波究竟是怎样的思路。（反正题主要求的是通俗形象，没说简短，希望不会太长不看。。）
一、傅里叶变换
关于傅里叶变换的基本概念在此我就不再赘述了，默认大家现在正处在理解了傅里叶但还没理解小波的道路上。（在第三节小波变换的地方我会再形象地讲一下傅里叶变换）
下面我们主要将傅里叶变换的不足。即我们知道傅里叶变化可以分析信号的频谱，那么为什么还要提出小波变换？答案就是方沁园所说的，“对非平稳过程，傅里叶变换有局限性”。看如下一个简单的信号：<img src="https://pic1.zhimg.com/da6c4b8ce1672d4997000eb08444824c_b.jpg" data-rawwidth="597" data-rawheight="284" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="597" data-original="https://pic1.zhimg.com/da6c4b8ce1672d4997000eb08444824c_r.jpg">做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上看到清晰的四条线，信号包含四个频率成分。
做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上看到清晰的四条线，信号包含四个频率成分。一切没有问题。但是，如果是频率随着时间变化的非平稳信号呢？
<img src="https://pic1.zhimg.com/def600cea95fa10e3872e88dc8059d6c_b.jpg" data-rawwidth="690" data-rawheight="612" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="690" data-original="https://pic1.zhimg.com/def600cea95fa10e3872e88dc8059d6c_r.jpg">
如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。
做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。
可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。
然而平稳信号大多是人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。
<img src="https://pic3.zhimg.com/e71310fc73e7beba589b76264564abee_b.jpg" data-rawwidth="429" data-rawheight="287" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="429" data-original="https://pic3.zhimg.com/e71310fc73e7beba589b76264564abee_r.jpg">上图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号，只知道包含哪些频率成分是不够的，我们还想知道
上图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号，只知道包含哪些频率成分是不够的，我们还想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况，各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。二、短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform, STFT）
一个简单可行的方法就是——加窗。我又要套用方沁园同学的描述了，“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。
看图：
<img src="https://pic3.zhimg.com/7f4ac3c30283e657406d6661300478a2_b.jpg" data-rawwidth="844" data-rawheight="449" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="844" data-original="https://pic3.zhimg.com/7f4ac3c30283e657406d6661300478a2_r.jpg">时域上分成一段一段做FFT，不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗！
时域上分成一段一段做FFT，不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗！用这样的方法，可以得到一个信号的时频图了：
<img src="https://pic1.zhimg.com/fec492fbcf67ddde4cb6017b62497bf4_b.jpg" data-rawwidth="649" data-rawheight="492" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="649" data-original="https://pic1.zhimg.com/fec492fbcf67ddde4cb6017b62497bf4_r.jpg"> ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”
——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”图上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分，还能看到出现的时间。两排峰是对称的，所以大家只用看一排就行了。
是不是棒棒的？时频分析结果到手。但是STFT依然有缺陷。
使用STFT存在一个问题，我们应该用多宽的窗函数？
窗太宽太窄都有问题：<img src="https://pic4.zhimg.com/479dd3f809656bf154456868b65e73b3_b.jpg" data-rawwidth="627" data-rawheight="312" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="627" data-original="https://pic4.zhimg.com/479dd3f809656bf154456868b65e73b3_r.jpg">
<img src="https://pic3.zhimg.com/9da6c3e9704c32bfb7b53b995532878e_b.jpg" data-rawwidth="609" data-rawheight="350" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="609" data-original="https://pic3.zhimg.com/9da6c3e9704c32bfb7b53b995532878e_r.jpg">窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。
窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。（这里插一句，这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置，我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在，我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。 所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。）
看看实例效果吧：<img src="https://pic1.zhimg.com/565a3c57d43c8f2f78a5b1dc0de66e34_b.jpg" data-rawwidth="608" data-rawheight="292" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="608" data-original="https://pic1.zhimg.com/565a3c57d43c8f2f78a5b1dc0de66e34_r.jpg">
<img src="https://pic3.zhimg.com/c7d2d230a8c4766569c5a77fac901eea_b.jpg" data-rawwidth="604" data-rawheight="295" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="604" data-original="https://pic3.zhimg.com/c7d2d230a8c4766569c5a77fac901eea_r.jpg">
<img src="https://pic2.zhimg.com/39822d6589c4486a0a91a148e0a3e571_b.jpg" data-rawwidth="614" data-rawheight="281" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="614" data-original="https://pic2.zhimg.com/39822d6589c4486a0a91a148e0a3e571_r.jpg"> ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”
——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”上图对同一个信号（4个频率成分）采用不同宽度的窗做STFT，结果如右图。用窄窗，时频图在时间轴上分辨率很高，几个峰基本成矩形，而用宽窗则变成了绵延的矮山。但是频率轴上，窄窗明显不如下边两个宽窗精确。
所以窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低，宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。对于时变的非稳态信号，高频适合小窗口，低频适合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。
三、小波变换
那么你可能会想到，让窗口大小变起来，多做几次STFT不就可以了吗？！没错，小波变换就有着这样的思路。
但事实上小波并不是这么做的（关于这一点，方沁园同学的表述“小波变换就是根据算法，加不等长的窗，对每一小部分进行傅里叶变换”就不准确了。小波变换并没有采用窗的思想，更没有做傅里叶变换。）
至于为什么不采用可变窗的STFT呢，我认为是因为这样做冗余会太严重，STFT做不到正交化，这也是它的一大缺陷。
于是小波变换的出发点和STFT还是不同的。STFT是给信号加窗，分段做FFT；而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率，还可以定位到时间了~