迴文
利用python 自帶的翻轉 函數reversed()
def is_plalindrome(string):
return string == ''.join(list(reversed(string)))自己實現
def is_plalindrome(string):
string = list(string)
length = len(string)
left = 0
right = length - 1
while left < right:
if string[left] != string[right]:
return False
left += 1
right -= 1
return True當然還有切片string[::-1]
最長的迴文子串
暴力破解
暴力破解，枚舉所有的子串，對每個子串判斷是否爲迴文， 時間複雜度爲 O(n^3)
動態規劃
def solution(s):
s = list(s)
l = len(s)
dp = [[0] * l for i in range(l)]
for i in range(l):
dp[i][i] = True
# 當 k = 2時要用到
dp[i][i - 1] = True
resLeft = 0
resRight = 0
# 枚舉子串的長度
for k in range(2, l+1):
# 子串的起始位置
for i in range(0, l-k+1):
j = i + k - 1
if s[i] == s[j] and dp[i + 1][j - 1]:
dp[i][j] = True
# 保存最長的迴文起點和終點
if resRight - resLeft + 1 < k:
resLeft = i
resRight = j
return ''.join(s[resLeft:resRight+1])時間複雜度爲 O(n^2), 空間複雜度爲 O(n^2)
Manacher 算法
Manacher 算法首先對字符串做一個預處理,使得所有的串都是奇數長度, 插入的是同樣的符號且符號不存在與原串中，串的迴文性不受影響
aba => #a#b#a# abab => #a#b#a#b#
我們把迴文串中最右位置與其對稱軸的距離稱爲迴文半徑，Manacher 算法定義了一個迴文半徑數組 RL，RL[i]表示以第 i 個字符爲對稱軸的迴文半徑，對於上面得到的插入分隔符的串來說，我們可以得到 RL數組
char: # a # b # a # RL: 1 2 1 4 1 2 1 RL-1: 0 1 0 3 0 1 0 i: 0 1 2 3 4 5 6 char: # a # b # a # b # RL: 1 2 1 4 1 4 1 2 1 RL-1: 0 1 0 3 0 3 0 1 0 i: 0 1 2 3 4 5 6 7 8
我們還求了 RL[i] - 1: 我們發現RL[i] -1 正好是初始字符串中以位置i 爲對稱軸的最長迴文長度
所以下面就是重點如何求得 RL 數組了， 可以參考這篇文章 (講得比較清晰)
下面是算法實現
def manacher(preS):
s = '#' + '#'.join(preS) + '#'
l = len(s)
RL = [0] * l
maxRight = pos = maxLen = 0
for i in range(l):
if i < maxRight:
RL[i] = min(RL[2*pos - i], maxRight-i)
else:
RL[i] = 1
while i - RL[i] >= 0 and i + RL[i] < l and s[i - RL[i]] == s[i + RL[i]]:
RL[i] += 1
if i + RL[i] - 1 > maxRight:
maxRight = i + RL[i] - 1
pos = i
maxLen = max(RL)
idx = RL.index(maxLen)
sub = s[idx - maxLen + 1: idx + maxLen]
return sub.replace('#', '')空間複雜度：藉助了一個輔助數組，空間複雜度爲 O(n) 時間複雜度：儘管內層存在循環，但是內層循環只對尚未匹配的部分進行，對於每一個字符來說，只會進行一次，所以時間複雜度是 O(n)
最長迴文前綴
所謂前綴，就是以第一個字符開始
下面的最長迴文前綴
abbabbc => abbc abababb => ababa sogou => s
將原串逆轉，那麼問題就轉變爲求原串的前綴和逆串後綴相等且長度最大的值, 這個問題其實就是 KMP 算法中的 next 數組的求解了
具體求解： 將原串逆轉並拼接到原串中， 以’#’ 分隔原串和逆轉避免內部字符串干擾。
def longest_palindrome_prefix(s):
if not s:
return 0
s = s + '#' + s[::-1] + '$'
i = 0
j = -1
nt = [0] * len(s)
nt[0] = -1
while i < len(s) - 1:
if j == -1 or s[i] == s[j]:
i += 1
j += 1
nt[i] = j
else:
j = nt[j]
return nt[len(s) - 1]添加字符生成最短迴文字符串
這道題其實跟上面基本是一樣的， 實例：
aacecaaa -> aaacecaaa # 添加 a abcd -> dcbabcd # 添加 dcb
我們先求字符串的最長迴文前綴, 然後剩餘的字符串逆轉並拼接到字符串的頭部即是問題所求
def solution(s):
length = longest_palindrome_prefix(s)
return s[length:][::-1] + s最長迴文子序列
動態規劃法
- dp[i][j] 表示子序列 s[i..j] 中存在的最長迴文子序列長度
- 初始化dp[i][i] = 1
- 當 s[i] == s[j] 爲 true 時，dp[i][j] = dp[i+1][j - 1] + 2
- 當 s[i] == s[j] 爲 false 時，dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j - 1])
# 求得最長迴文子序列的長度
def solution(s):
l = len(s)
dp = [[0] * l for i in range(l)]
for i in range(l):
dp[i][i] = 1
# 枚舉子串的長度
for k in range(2, l+1):
# 枚舉子串的起始位置
for i in range(0, l-k+1):
j = i + k - 1
if s[i] == s[j]:
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2
else:
dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j])
return dp[0][l-1]時間複雜度爲 O(n^2), 空間複雜度爲 O(n^2)
轉自：http://youbookee.com/2016/09/06/plalindrome-substring/