[算法設計與分析] CLFP 有容量限制的設施選址問題

Capacitated Facility Location Problems

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代碼都位於我的Github上，請點擊這裏查看

https://github.com/Gongzq5/Capacitated-Facility-Location-Problems

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問題背景

Capacitated Facility Location Problem

• Suppose there are n facilities and m customers. We wish to choose:
  • which of the n facilities to open
  • the assignment of customers to facilities
• The objective is to minimize the sum of the opening cost and the assignment cost.
• The total demand assigned to a facility must not exceed its capacity.

Problem Instance

問題參考

這個網站：http://www.di.unipi.it/optimize/Data/MEX.html

包含了問題的已知最優解

問題求解

解法1：模擬退火 SA

代碼：

該解法代碼文件位於 src/SA.cpp 中。

簡介

就是普通的模擬退火，進行了如下的一些改進，並且參數經過了多次試驗性的調整；

• 鄰域搜索策略：

採用5種鄰域搜索策略

1. 隨機將一個客戶移動到另一個倉庫
2. 隨機改變一個倉庫的狀態
   • 若該倉庫是打開的，那麼嘗試將該倉庫的所有用戶分配給其他倉庫，然後關閉它；如果無法將所有用戶都分配走，那麼不恢復已被挪走的用戶，也不改變該倉庫的狀態；
   • 若該倉庫是關閉的，那麼將該倉庫打開，並且給這個倉庫隨機分配一個客戶；
3. 隨機選擇2個客戶交換倉庫
4. 隨機選擇3個客戶輪換倉庫
5. 隨機選擇4個客戶輪換倉庫

以上的策略在執行後都會驗證，如果被挪走客戶的倉庫此時沒有任何一個其他客戶使用，那麼將其關閉。

• 額外的改進：

1. 降溫開始時記錄一個閾值，在多次迭代不發生改變時，將溫度升高至該閾值，然後閾值減半；

2. 根據問題規模確定搜索次數（內循環次數），可以有效地處理問題規模增長後效果變差的情況。

基本參數設置

參數	設置	備註
初溫	$20$	初始溫度
降溫速率	$0.99$	每輪循環後 $T_{k+1} = 0.99 T_{k}$
概率接受函數	$random() < e^{\Delta H/(T*5)}$	隨機數$r$小於該值時接受差解
內循環次數	$problemSize \cdot 1.0001^n$	初值根據問題規模確定，每次增加到$1.0001$倍

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解法2：貪心+局部搜索 Greedy + Local search

代碼

該解法代碼文件位於 src/GreedyLocalSearch.cpp 中。

簡介

首先寫了貪心的算法，貪心的算法在 src/GreedyLocalSearch.cpp 文件中有一個單獨的函數可供查看；

然後寫了局部搜索的算法；

單獨貪心和局部搜索的結果都不是很好，想到可以將兩者結合起來進行計算。首先先使用貪心法求一個初始解，然後使用局部搜索在此初始解附近迭代，試圖找到最優解；

局部搜索使用的鄰域搜索策略和模擬退火是相同的。

額外的改進：

1. 爲了避免問題的規模增加後代碼運行次數不足的情況，我增加了根據問題規模決定循環次數的代碼；

   int problemSize = instance.customerNum * instance.facilityNum;
   for (int _i; _i < problemSize * 2000; _i++) {...}
   

2. 爲了避免陷入局部最優，我增加了接受差解的代碼，以期跳出局部最優；

   • 首先將接受差解的概率設置爲0；
   • 在限定的循環次數內，如果有一定次數沒有發現更優的解，會線性的增加接受差解的概率；
   • 由於參數的設定機制，接受差解的概率最多不會超過0.2，在實踐中，通常不會超過0.01。但是取得的效果是顯著的，在陷入局部最優（可能是全局最優）後會以較大的概率跳出該解，整個解檢索的過程大致呈鋸齒狀分佈；

   接受差解概率 badAcception = 0 
   FOR i FROM 0 TO (problemSize * 2000)
       {生成新解}
       IF {新解效果好} THEN
           {接收新解}
           badAcception = 0
       ELSE 
           {以概率badAcception接受差解}
           IF {不改變的次數大於 problemSize} THEN
               badAcception += 0.0001;
           END IF
       END IF
   END FOR
   

基本參數設置

參數	設置	備註
問題規模	customerNum * facilityNum	問題規模爲客戶數量乘以工廠的數量，用來衡量該問題的計算規模
差解接受概率	0	初值爲0，不接受差解；每n次不產生新解則將其遞增0.0001

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附貪心算法的策略：

每次從客戶的角度出發，貪心離他最近的工廠；

其判斷到每個工廠的代價，計算爲

IF facility[j] is open THEN
	cost = assignment cost
ELSE
	cost = assignment cost + opening cost
END IF

每次判斷一個用戶，如果該用戶得到的最小代價是一個未打開的工廠的，那麼就把這個工廠打開；如果是一個已打開的工廠，那麼就只需要把用戶指向這個工廠就好了。

實驗結果

考慮到隨機算法效果的隨機性，爲了充分考量算法的效果，我對每個測例進行了三次運行，結果放在結果文件夾的allSolutions文件夾中(命名爲p1(1), p1(2)…)，並挑出了其中最好的解放在optimizeSolutions文件夾中。

結果表格請查看 result.md 文件；

我還額外提供了一個結果矩陣的彙總的，命名爲 summary。

鏈接如下：

	模擬退火	貪心+局部搜索
所有實驗解	模擬退火三次實驗的所有結果	局部搜索三次實驗的所有結果
所有最優解	模擬退火每個測例的最優解	局部搜索每個測例的最優解
結果彙總	模擬退火每個測例具體結果的彙總	局部搜索每個測例具體結果的彙總
結果表格	模擬退火實驗結果的表格	局部搜索實驗結果的表格

以下附結果表格

模擬退火結果如下

	Result	Times(s)
p1	8848	8
p2	7914	8
p3	9314	8
p4	10795	6
p5	8838	8
p6	7777	7
p7	9488	7
p8	11088	7
p9	8593	5
p10	7627	7
p11	8938	7
p12	10252	8
p13	8294	18
p14	7137	17
p15	8862	17
p16	10524	20
p17	8294	17
p18	7152	16
p19	8907	16
p20	10514	17
p21	8171	17
p22	7178	16
p23	8774	14
p24	10463	19
p25	11639	106
p26	10776	99
p27	12336	101
p28	13736	105
p29	12548	102
p30	11337	139
p31	13378	189
p32	15376	182
p33	11632	101
p34	10635	103
p35	12235	100
p36	13835	99
p37	11326	99
p38	10594	98
p39	11951	107
p40	13059	125
p41	6737	11
p42	5755	32
p43	5302	32
p44	7107	14
p45	6580	25
p46	5980	36
p47	7077	13
p48	6239	25
p49	5609	38
p50	8848	13
p51	7414	36
p52	9246	15
p53	8531	38
p54	8838	23
p55	7654	34
p56	21748	140
p57	26379	155
p58	38059	160
p59	27694	143
p60	21241	137
p61	25596	139
p62	33662	143
p63	25397	142
p64	21400	164
p65	25794	137
p66	32688	145
p67	25231	142
p68	22086	137
p69	26100	143
p70	33316	147
p71	25679	144

局部搜索結果如下

	Result	Times(s)
p1	8848	6s
p2	7914	5s
p3	9314	6s
p4	10859	7s
p5	8838	6s
p6	7777	5s
p7	9488	6s
p8	11088	6s
p9	8462	7s
p10	7617	5s
p11	8932	6s
p12	10138	7s
p13	8252	13s
p14	7182	12s
p15	8862	14s
p16	10612	17s
p17	8227	13s
p18	7188	12s
p19	8887	12s
p20	10513	13s
p21	8068	13s
p22	7154	13s
p23	8806	13s
p24	10327	14s
p25	11639	77s
p26	10781	78s
p27	12340	77s
p28	13736	79s
p29	12450	153s
p30	11391	155s
p31	13367	217s
p32	15387	245s
p33	11706	76s
p34	10635	73s
p35	12235	75s
p36	13835	75s
p37	11258	116s
p38	10551	48s
p39	11824	69s
p40	13024	72s
p41	6640	7s
p42	5750	14s
p43	5369	20s
p44	7462	7s
p45	6396	13s
p46	6083	20s
p47	6836	9s
p48	5910	14s
p49	5584	19s
p50	8861	8s
p51	7471	17s
p52	9253	7s
p53	8589	18s
p54	8834	19s
p55	7663	21s
p56	22384	67s
p57	27321	68s
p58	38651	69s
p59	28015	69s
p60	23122	67s
p61	25995	66s
p62	34816	67s
p63	25279	68s
p64	23637	66s
p65	25958	134s
p66	33124	68s
p67	27487	68s
p68	22317	68s
p69	25258	68s
p70	33102	68s
p71	26433	71s