多項式 求逆/除法/取模/開根 （待添加 指數函數/對數函數/多點求值）

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多項式求逆

給定$A(x)$求$B(x)=A^{-1}(x)(mod x^n)$
使用倍增構造。
若n=1，則直接求0次項的乘法逆元。
若n>1
設$B(x)$滿足
$A(x)B(x)\equiv 1 \mod x^{n/2}$

$A(x)B(x)-1\equiv 0 \mod x^{n/2}$

$(A(x)B(x)-1)^2\equiv 0 \mod x^{n}$

$A^2(x)B^2(x)-2A(x)B(x)+1\equiv 0 \mod x^{n}$

$A(x)(2B(x)-A(x)B^2(x))\equiv 1 \mod x^{n}$

$2B(x)-A(x)B^2(x)\equiv A^{-1}(x) \mod x^{n}$

遞歸即可，複雜度$O(nlog(n))$

多項式除法

已知$A(x),B(x)$，它們的次數分別爲$n,m(n>m)$

$A(x)=B(x)C(x)+D(x)$

求$C(x)$是除法，$D(x)$是取模，其中$C(x)$的係數不大於$n-m$，$D(x)$的係數小於$m$

首先可以發現$A'(x)=x^nA({1\over x})$就是將A的係數翻轉過來。

同乘$x^n$
那麼
$x^nA({1\over x})=x^mB({1\over x})x^{n-m}C({1\over x})+x^{n-m+1}x^{m-1}D({1\over x})$

將這個東西$\mod x^{n-m+1}$，可以發現對$C(x)$的係數不會有影響。
於是
$A'(x)\equiv B'(x)C'(x) \mod x^{n-m+1}$

$C'(x)\equiv A'(x)B'^{-1}(x) \mod x^{n-m+1}$

於是多項式求逆，然後乘起來就沒了。

多項式取模

$A(x)=B(x)C(x)+D(x)$

先除，再乘，再減，就沒了。

多項式開方

給定$A(x)$求$B^2(x)=A(x)(mod x^n)$
使用倍增構造。
當n=1時，相當於求0次項的二次剩餘。
（然而我並不會二次剩餘，而且很多題裏的常數項是真的常數，所以這裏忽略二次剩餘）
當n>1時，
設$B(x),G(x)$滿足
$B^2(x)\equiv A(x) \mod x^{n/2},G^2(x)\equiv A(x) \mod x^{n}$

$G^2(x)-B^2(x)\equiv 0 \mod x^{n/2}$

兩邊平方
$G^4(x)+B^4(x)-2G^2(x)B^2(x)\equiv 0 \mod x^{n}$

$(G^2(x)+B^2(x))^2\equiv 4G^2(x)B^2(x) \mod x^{n/2}$

$G^2(x)+B^2(x)\equiv 2G(x)B(x) \mod x^{n/2}$

因爲$G^2(x)\equiv A(x) \mod x^{n}$
$A(x)+B^2(x)\equiv 2G(x)B(x) \mod x^{n/2}$

${A(x)\over 2B(x)}+{B(x)\over 2}\equiv G(x) \mod x^{n/2}$

求逆然後乘一乘，加一加就行了。

Code

這個代碼對應的是bzoj3625 CF438E

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define N 3201000
#define ll long long
#define mo 998244353
using namespace std;
int n,m;
ll D[N],W[N],A[N],B[N],C[N],E[N],len,a[N],b[N],c[N];
ll mi(ll a,ll b)
{
	a%=mo;ll jy=1;
	for(;b;b/=2,a=a*a%mo) if(b%2==1) jy=jy*a%mo;
	return jy;
}
void DFT(ll *a,int sig,int deg)
{
	int len,lg;
	for(len=1,lg=0;len<=deg;len*=2,lg++);
	W[0]=1;W[1]=mi(3,(mo-1)/len);fo(i,2,len) W[i]=W[i-1]*W[1]%mo;
	fo(i,0,len-1)
	{
		int p=0;
		for(int j=0,tp=i;j<lg;j++,tp/=2) p=(p<<1)+(tp%2);
		D[p]=a[i];
	}
	for(int m=2;m<=len;m*=2)
	{
		int half=m/2,tmp=len/m;
		for(int j=0;j<len;j+=m)
		{
			fo(i,j,j+half-1)
			{
				ll u=D[i],v=D[i+half]*((sig==1)?W[(i-j)*tmp]:W[len-(i-j)*tmp])%mo;
				D[i]=(u+v)%mo;
				D[i+half]=(u-v+mo)%mo;
			}
		}
	}
	if(sig==-1)
	{
		ll inv=mi(len,mo-2);
		fo(i,0,len-1) D[i]=D[i]*inv%mo;
	}
	fo(i,0,len-1) a[i]=D[i];
}
void poly_inv(ll *a,ll *b,int deg)
{
	if(deg==1)
	{
		b[0]=mi(a[0],mo-2);
		b[1]=0;
		return;
	} 
	poly_inv(a,b,(deg+1)/2);
	fo(i,0,deg-1) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	fo(i,deg,deg+deg-1) A[i]=B[i]=0;
	DFT(A,1,deg);DFT(B,1,deg);
	fo(i,0,deg+deg-1) A[i]=(A[i]*B[i]%mo*B[i]%mo)%mo;
	DFT(A,-1,deg);
	fo(i,0,deg-1) b[i]=(b[i]*2ll-A[i]+mo)%mo;
	fo(i,deg,deg+deg) b[i]=0;
}
void poly_divide(ll *a,int n,ll *b,int m,ll *c)
{
	int len=1;
	for(;len<n-m+1;len*=2);
	fo(i,0,m-1) c[i]=b[m-i-1],C[i]=0;
	fo(i,min(m,n-m+1),len+len) c[i]=C[i]=0;
	poly_inv(c,C,len);
	fo(i,0,n-1) A[i]=a[n-i-1];
	fo(i,n-m+1,len+len) A[i]=C[i]=0;
	DFT(A,1,len);DFT(C,1,len);
	fo(i,0,len+len) A[i]=A[i]*C[i]%mo;
	DFT(A,-1,len);
	fo(i,0,n-m) c[i]=A[n-m-i];	
}
void poly_mod(ll *a,int n,ll *b,int m,ll *c)
{
	int len=1;
	for(;len<=n;len*=2);
	poly_divide(a,n,b,m,c);
	fo(i,n-m+1,len+len) c[i]=0;
	fo(i,0,m-1) A[i]=b[i];
	fo(i,m,len+len) A[i]=0;
	DFT(A,1,len);DFT(c,1,len);
	fo(i,0,len+len) A[i]=A[i]*c[i]%mo;
	DFT(A,-1,len);
	fo(i,0,m-2) c[i]=(a[i]-A[i]+mo)%mo;
}
void poly_sqrt(ll *a,ll *b,int deg)
{
	if(deg==1)
	{
		b[0]=1;   //默認常數爲1(不用二次剩餘)
		return;
	}
	poly_sqrt(a,b,deg/2);
	poly_inv(b,C,deg);
	fo(i,0,deg-1) A[i]=a[i];
	fo(i,deg,deg+deg) A[i]=0,C[i]=0;
	DFT(A,1,deg);DFT(C,1,deg);
	fo(i,0,deg+deg-1) A[i]=A[i]*C[i]%mo;
	DFT(A,-1,deg);
	ll ny2=mi(2,mo-2);
	fo(i,0,deg-1) b[i]=(b[i]*ny2%mo+A[i]*ny2%mo)%mo;
}
int main()
{
	int mx=0;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	fo(i,1,n)
	{
		int x;scanf("%d",&x);
		a[x]=mo-4;
		mx+=x;
	}
	for(len=1;len<=m;len*=2);
	a[0]++;
	poly_sqrt(a,b,len);
	b[0]++;
	poly_inv(b,a,len);
	fo(i,1,m) printf("%lld\n",2ll*a[i]%mo);
}