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上一期算法回顧--貪婪法：https://mp.weixin.qq.com/s/978Tdplj3IaSG2dc-5F-aw
目錄
算法導讀
本期算法講解思路：
白話算法->算法思路->實例：八皇后問題->實例：01揹包問題->算法教你玩數獨
白話算法
回溯法（back tracking）（探索與回溯法）是一種選優搜索法，又稱爲試探法，按選優條件向前搜索，以達到目標。但當探索到某一步時，發現原先選擇並不優或達不到目標，就退回一步重新選擇，這種走不通就退回再走的技術爲回溯法，而滿足回溯條件的某個狀態的點稱爲“回溯點”。
白話：回溯法可以理解爲通過選擇不同的岔路口尋找目的地，一個岔路口一個岔路口的去嘗試找到目的地。如果走錯了路，繼續返回來找到岔路口的另一條路，直到找到目的地。
實例一：八皇后問題
八皇后問題是一個古老而著名的問題，是回溯算法的典型例題。該問題是十九世紀著名的數學家高斯1850年提出：在8X8格的國際象棋上擺放八個皇后（棋子），使其不能互相攻擊，即任意兩個皇后都不能處於同一行、同一列或同一斜線上。
小白麪試經：理解如何解決這個問題，回溯法的精髓已經get。如果只是想了解算法面試知識，知道解決這個問題就能完成你的算法積累了。想快速掌握算法，可以直接查看解題思路的四個步驟。
八皇后問題解題思路：
問題簡化：下面我們將八皇后問題轉化爲四皇后問題，並用回溯法來找到它的解
目的：在4x4棋盤上，使得4個皇后不能在同行同列以及同斜線上。
step1
嘗試先放置第一枚皇后，被塗黑的地方是不能放皇后
step2
第二行的皇后只能放在第三格或第四格，比方我們放第三格，則：
此時我們也能理解爲什麼叫皇后問題了，皇后旁邊容不下其他皇后。而在同一個房間放下四個皇后確實是個不容易的問題。
step3
可以看到再難以放下第三個皇后，此時我們就要用到回溯算法了。我們把第二個皇后更改位置，此時我們能放下第三枚皇后了。
step4
雖然是能放置第三個皇后，但是第四個皇后又無路可走了。返回上層調用（3號皇后），而3號也別無可去，繼續回溯上層調用（2號），2號已然無路可去，繼續回溯上層（1號），於是1號皇后改變位置如下，繼續回溯。
這就是回溯算法的精髓，雖然沒有最終把問題解決，但是可以劇透一波，就是根據這個算法，最終能夠把四位皇后放在4x4的棋盤裏。也能用同樣的方法解決了八皇后問題。下面我們用代碼解決八皇后問題。
代碼實現八皇后問題
我們將算法也設置成兩步，
第一步 我們要判斷每次輸入的皇后是否在同一行同一列，或者同一斜線上。
bool is_ok(int row){ //判斷設置的皇后是否在同一行，同一列，或者同一斜線上
for (int j=0;j<row;j++)
{
if (queen[row]==queen[j]||row-queen[row]==j-queen[j]||row+queen[row]==j+queen[j])
return false;
}
return true;
}
第二步 我們用十行代碼來進入我們核心算法
void back_tracking(int row=0) //算法函數，從第0行開始遍歷
{
if (row==n)
t ++; //判斷若遍歷完成，就進行計數
for (int col=0;col<n;col++) //遍歷棋盤每一列
{
queen[row] = col; //將皇后的位置記錄在數組
if (is_ok(row)) //判斷皇后的位置是否有衝突
back_tracking(row+1); //遞歸，計算下一個皇后的位置
}
}
代碼實現算法也是比較簡單的，主要還是看是否掌握算法思想。
實例二：01揹包問題
有N件物品和一個容量爲V的揹包。第i件物品的價格（即體積，下同）是w[i]，價值是c[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
這是最基礎的揹包問題，總的來說就是：選還是不選，這是個問題
相當於用f[i][j]表示前i個揹包裝入容量爲v的揹包中所可以獲得的最大價值。
對於一個物品，只有兩種情況
情況一: 第i件不放進去，這時所得價值爲:f[i-1][v]
情況二: 第i件放進去，這時所得價值爲：f[i-1][v-c[i]]+w[i]
接下來的實例屬於算法進階，可做了解
提兩點，
1.與上期貪婪法所解決的揹包問題相比，回溯法將能更能顧及尋找全局最優。
2.揹包問題與八皇后問題所用的算法雖然都是回溯法，但是他們的目的不一樣，八皇后只要求把所有的棋子放在棋盤上（即只需解決深度最優）。而01揹包問題不僅需要讓物品都放進揹包，而且要使得物品質量最大，在八皇后問題上多提出了一個限制。
問題的解空間
用回溯法解問題時，應明確定義問題的解空間。問題的解空間至少包含問題的一個(最優)解。對於 n=3 時的 0/1 揹包問題，可用一棵完全二叉樹表示解空間，如圖所示：
1表示選取，0表示不選
求解步驟
1)針對所給問題，定義問題的解空間；
2)確定易於搜索的解空間結構；
3)以深度優先方式搜索解空間，並在搜索過程中用剪枝函數避免無效搜索。
常用的剪枝函數：用約束函數在擴展結點處剪去不滿足約束的子樹；用限界函數剪去得不到最優解的子樹。
回溯法對解空間做深度優先搜索時，有遞歸回溯和迭代回溯（非遞歸）兩種方法，但一般情況下用遞歸方法實現回溯法。
算法描述
解 0/1 揹包問題的回溯法在搜索解空間樹時，只要其左兒子結點是一個可行結點，搜索就進入其左子樹。當右子樹中有可能包含最優解時才進入右子樹搜索。否則將右子樹剪去。
我們直接上手代碼解決這個問題
算法部分
void dfs(int i,int cv,int cw)
{ //cw當前包內物品重量，cv當前包內物品價值
if(i>n)
{
if(cv>bestval) //是否超過了最大價值
{
bestval=cv; //得到最大價值
for(i=1;i<=n;i++)
bestx[i]=x[i]; //得到選中的物品
}
}
else
for(int j=0;j<=1;j++) //枚舉物體i所有可能的路徑，
{
x[i]=j;
if(cw+x[i]*w[i]<=TotCap) //滿足約束,繼續向子節點探索
{
cw+=w[i]*x[i];
cv+=val[i]*x[i];
dfs(i+1,cv,cw);
cw-=w[i]*x[i]; //回溯上一層物體的選擇情況
cv-=val[i]*x[i];
}
}
}
主函數部分
int main()
{
int i;
bestval=0;
cout<<"請輸入揹包最大容量:"<<endl;;
cin>>TotCap;
cout<<"請輸入物品個數:"<<endl;
cin>>n;
cout<<"請依次輸入物品的重量:"<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
cin>>w[i];
cout<<"請依次輸入物品的價值:"<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
cin>>val[i];
dfs(1,0,0);
cout<<"最大價值爲:"<<endl;
cout<<bestval<<endl;
cout<<"被選中的物品的標號依次是:"<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
if(bestx[i]==1)
cout<<i<<" ";
cout<<endl;
return 0;
}
回溯算法帶你玩數獨
我們可以想象，我們經常玩的數獨問題其實就是一個的八皇后問題。在9宮格數獨的約束爲每一行每一列不能出現相同的數。這裏我們限於篇幅，不將細講代碼了。
#include <iostream>
using namespace std;
#define LEN 9
int a[LEN][LEN] = {0};
//查詢該行裏是否有這個值
bool Isvaild(int count)
{
int i = count/9;
int j = count%9;
//檢測行
for(int iter = 0;iter!=j;iter++)
{
if(a[i][iter]==a[i][j])
{
return 1;
}
}
//檢測列
for(int iter=0;iter!=i;iter++)
{
if(a[iter][j]==a[i][j])
{
return 1;
}
}
//檢測九宮
for(int p =i/3*3;p<(i/3+1)*3;p++)
{
for(int q=j/3*3;q<(j/3+1)*3;q++)
{
if(p==i&&j==q)
{
continue;
}
if(a[p][q]==a[i][j])
{
return 1;
}
}
}
return 0;
}
void print()
{
cout<<"數度的解集爲"<<":"<<endl;
for(int i=0;i<9;i++)
{
for(int j=0;j<9;j++)
{
cout<<a[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
cout<<endl;
}
void first_chek(int count)
{
if(81 ==count)
{
print();
return;
}
int i = count/9; //列
int j = count%9; //行
if(a[i][j]==0)
{
for(int n=1;n<=9;n++)
{
a[i][j] = n;
if(!Isvaild(count)) //這個值不衝突
{
first_chek(count+1) }
}
a[i][j] = 0;
}
else
{
first_chek(count+1);
}
}
int main()
{
a[1][2] = 3;
a[5][3] = 9;
a[8][8] = 1;
a[4][4] = 4;
first_chek(0);
return 0;
}
其中2行3列、6行4列、9行9列、5行5列數字爲已知。最後結果，
總結
回溯法屬於深度優先搜索，由於是全局搜索，複雜度相對高。
如果你想了解更深的瞭解回溯算法，可以翻閱相關的數據結構書籍。當然，如果你選擇深入瞭解這個算法，必然會枯燥。
回溯算法代碼：https://github.com/haixiansheng/algorithm
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