繪圖工具

窗口到視口的變換，（x，y）→（sx，sy）（Wl，Wr，Wb，Wt）→（Vl，Vr，Vb，Vt）

sx=Ax+C，sy=By+D，Vl=AWl+C，Vr=AWr+C，A=（Vr-Vl）/（Wr-Wl），C=Vl-AWl=（WrVl-WlVr）/（Wr-Wl）

寬高比：if world aspect ratio R>W/H，viewport（0，W，0，W/R）else viewport（0，H✖️R，0，H）

Cohen-Sutherland 裁剪算法

do{
    形成p1，p2的碼字（e.g. FTFT）
    if 平凡接受 return 1（case FFFF && FFFF）
    if 平凡拒絕 return 0（case p1 and p2 has same T）
    將線段在下一個窗口處階段（最多循環4次，在4個邊界處截斷：根據比例關係重新計算 x 值或 y 值）
}while(1);

向量工具

向量的點乘：求向量的夾角 cos θ

向量的叉乘：應用矩陣，計算向量之間的面積

$|a-b|^2=|a|^2-2a·b+|b|^2$

向量的分解：c=k·v+m·v⊥，同乘 v 或 v⊥，得到 k=c·v/v·v，m=c·v⊥/v⊥·v⊥，distance=m·v⊥

向量的反射：r-a=2（-a·n）·n → r=a-2（a·n）·n

點的任意仿射組合是一個合理的點，E=fP+gR（f+g=1），證明：座標系平移 u 後，E’=E+u=fP+gR+（f+g）u

點與向量的和與點的仿射組合等價：P=A+t（B-A）== P=tB+（1-t）A

直線：l（t）=C+b·t，fx+gy=1，n·（R-C）=0

平面：p（s，t）=C+s·a+b·t，p（s，t）=sA+tB+（1-s-t）C

判斷平面多邊形的凸性：所有相鄰邊向量的叉乘都指向平面的內側或外側

判斷點Q是否在凸多邊形內：對凸多邊形每個點Pi，（Q-Pi）·ni<0

凸多邊形和線段的裁剪算法：enter：t-in=max（t-in，t-hit），exit：t-out=min（t-out，t-hit）

線性插值：lerp（a，b，t）= a +（b-a）t = a（1-t）+ bt

矩陣工具

矩陣求逆：增廣矩陣A|E通過初等（行）變換，代數餘子式轉置得伴隨矩陣 A*：aij=Mji/|M|

矩陣分塊求逆： $「A、 b | ^{-1} 「A^{-1}、 -A^{-1}·b|$

矩陣分塊求逆： $|0、 1」 → |0 、 1 」$

正交矩陣：各行（列）相互正交 == $A^T=A^{-1}$

仿射變換

基本仿射變換：平移，旋轉（c，-s，0；s，c，0；0，0，1），放縮，剪切，逆變換

仿射變換組合

繞任一點旋轉（平移 - 的點左邊，旋轉，平移回去）

關於過原點直線的反射（旋轉角度到 x 軸，關於 x 軸反射：即【1，-1】的縮放，旋轉回去）

仿射變換的性質：證明的話針對每一種基本仿射變換證明

保持點的仿射組合

保持共線和共面的關係

保持直線和平面的平行性

矩陣的列揭示了變換後的座標系

保持相互比例

經矩陣 M 仿射變換後面積爲原來的 |det M| 倍

每一個仿射變換都由基本仿射變換組成

三維仿射變換關於某一座標軸的旋轉（y-roll：c，s；-s，c）

關於任意軸的旋轉（歐拉定理：關於某個點的任何旋轉等價於繞通過此點的某個軸的單一旋轉）

經典方法：先變換到某一座標軸，基本旋轉，逆變換，Ru（ß）=Ry（-θ）Rz（φ）Rx（ß）Rz（-φ）Ry（θ）

構造性方法：找出旋轉軸和旋轉角度

座標系變換：（i’,j’,k’）= M（i,j,k）（a,b,1）= M（c,d,1）due to ai=ci’=cMi

相機

根據up、eye、look 計算 n、u、v，歸一化！！！

世界座標到相機座標的轉換矩陣

移動攝像機：eye+=u+v+n，look+=u+v+n，up 不變

旋轉攝像機：u’= cos（α）u + sin（α）v、v’= -sin（α）u + cos（α）v

透視投影

點的透視投影：（x，y）=（NPx/（-Pz），NPy/（-Pz））

證明：通過從原點到 P 點的光線和視平面的交點 A

光線 t=0 在原點，t=1 在 P 點，參數方程爲 r（t）= Pt

Pt0=A，Pzt0=Az=-N，t0=-Pz/N

直線的透視投影：P（t）= A+ct，P（t）=（N（Ax+cxt）/（-Az-czt），N（Ay+cyt）/（-Az-czt））

證明！！！

若直線平行於視平面：cz=0，P（t）= N/-Az（Ax+cxt，Ay+cyt）

若直線不平行於視平面：P（無窮）=（Ncx/-cz，Ncy/-cz）（直線的滅點）

增加僞深度：（x，y，z*）=（NPx/（-Pz），NPy/（-Pz），（aPz+b）/-Pz）

從 N 到 F，僞深度從-1到1，所以 a= -（F+N）/（F-N），b= -2FN/（F-N）

使用齊次座標

透視變換和正交投影

透視變換的幾何性質

通過視點的直線被映射爲平行於 z 座標軸的直線

證明：這種直線上的所有點都被映射爲視平面上的同一點（x，y），z* 取遍-1到1

與 z 座標軸垂直的直線映射後依然垂直於 z 座標軸

證明：這種直線上的點具有相同的 z 值，所以映射後也有相同的僞深度值

透視矩陣：平移（-（l+r）/2，-（b+t）/2）縮放（2/（r-l），2/（t-b））

使用正則視景體 CVV 對面片進行裁剪 AC：A+（C-A）t

以 x=-1 爲例：ax/aw>-1 即 BCo= ax+aw>0

直線在內，平凡接受：兩個端點都在 CVV 內，12個 BC 值爲正

直線在外，平凡拒絕：兩個端點都同一個平面外

計算相交 t 值，以 x=1 爲例：（ax+（cx-ax）t）/（aw+（cw-aw）t），t=（aw-ax）/（（ax-ax）-（cw-cx））

視口變換：照相機寬高比（近平面寬高比） → 正則寬高比（1.0） → 視口寬高比

紋理映射

爲什麼不能線性插值：投影后面片上相等的間隔並不對應於三維面片上相等的間隔（近大遠小）

顏色線性插值

曲線設計

德卡斯特里奧算法

三點： $F（u）=（1-u）^2 P0 + 2u（1-u）P1 + u^2 P2$

四點： $F（u）=（1-u）^3 P0 + 3u（1-u）^2 P1 + 3u^2（1-u）P1 + u^3 P3$

圖形繪製管道

M：仿射變換

V：相機矩陣

Shade：着色

Perspective transformation：透視矩陣

clip：裁剪

Perspective division：透視除法

viewport：窗口到視口的映射

screen

每個頂點 V 附帶着紋理對（s，t）和一個頂點法向 n。頂點通過模式視點矩陣變換，產生視點座標系下的頂點 A 和法向 n’。計算着色時使用這個法向，產生顏色 c。頂點經過透視變換，產生 a~ =（a1，a2，a3，a4），紋理座標和顏色 c 並沒有改變。（裁剪後的點加上一個1計算出來的 1/a4 在計算雙線性插值時使用）