1. 說明

常見的B系列樹包括，B樹、B-樹、B+樹、B*樹，本文對這些樹做一個總結

2. B樹

即二叉搜索樹：

如：

B樹的搜索，從根結點開始，如果查詢的關鍵字與結點的關鍵字相等那麼就命中；否則，如果查詢關鍵字比結點關鍵字小，就進入左兒子；如果比結點關鍵字大，就進入右兒子；如果左兒子或右兒子的指針爲空，則報告找不到相應的關鍵字；

如果B樹的所有非葉子結點的左右子樹的結點數目均保持差不多（平衡），那麼B樹的搜索性能逼近二分查找；但它比連續內存空間的二分查找的優點是，改變B樹結構（插入與刪除結點）不需要移動大段的內存數據，甚至通常是常數開銷；
如：

但B樹在經過多次插入與刪除後，有可能導致不同的結構：

右邊也是一個B樹，但它的搜索性能已經是線性的了；同樣的關鍵字集合有可能導致不同的樹結構索引；所以，使用B樹還要考慮儘可能讓B樹保持左圖的結構，和避免右圖的結構，也就是所謂的“平衡”問題；

實際使用的B樹都是在原B樹的基礎上加上平衡算法，即“平衡二叉樹”；如何保持B樹結點分佈均勻的平衡算法是平衡二叉樹的關鍵；平衡算法是一種在B樹中插入和刪除結點的策略；

是一種多路搜索樹（並不是二叉的）：

定義任意非葉子結點最多隻有M個兒子；且M>2；
根結點的兒子數爲[2, M]；
除根結點以外的非葉子結點的兒子數爲[M/2, M]；
每個結點存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1個關鍵字；（至少2個關鍵字）
非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指針個數-1；
非葉子結點的關鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
非葉子結點的指針：P[1], P[2], …P[M]；其中P[1]指向關鍵字小於K[1]的
子樹，P[M]指向關鍵字大於K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬於(K[i-1], K[i])的子樹；
所有葉子結點位於同一層；
如：（M=3）

B-樹的搜索，從根結點開始，對結點內的關鍵字（有序）序列進行二分查找，如果命中則結束，否則進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點；重複，直到所對應的兒子指針爲空，或已經是葉子結點；

B-樹的特性：

由於限制了除根結點以外的非葉子結點，至少含有M/2個兒子，確保了結點的至少利用率，其最底搜索性能爲：

其中，M爲設定的非葉子結點最多子樹個數，N爲關鍵字總數；
所以B-樹的性能總是等價於二分查找（與M值無關），也就沒有B樹平衡的問題；由於M/2的限制，在插入結點時，如果結點已滿，需要將結點分裂爲兩個各佔
M/2的結點；刪除結點時，需將兩個不足M/2的兄弟結點合併；

B+樹是B-樹的變體，也是一種多路搜索樹：

B+的搜索與B-樹也基本相同，區別是B+樹只有達到葉子結點才命中（B-樹可以在非葉子結點命中），其性能也等價於在關鍵字全集做一次二分查找；
B+的特性：

是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指針；

B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少爲(2/3) * M，即塊的最低使用率爲2/3
（代替B+樹的1/2）；

B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，並將原結點中1/2的數據
複製到新結點，最後在父結點中增加新結點的指針；B+樹的分裂隻影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指針；

B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那麼將一部分
數據移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因爲兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，並各複製1/3的數據到新結點，最後在父結點增加新結點的指針；

所以，B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高；