繞座標軸旋轉
關於最常見的繞座標軸旋轉,可以看看前一篇-幾何變換詳解。
繞任意軸旋轉
https://www.cnblogs.com/graphics/archive/2012/08/10/2627458.html
繞任意軸旋轉的情況比較複雜,主要分爲兩種情況,一種是平行於座標軸的,一種是不平行於座標軸的,對於平行於座標軸的,我們首先將旋轉軸平移至與座標軸重合,然後進行旋轉,最後再平移回去。
- 將旋轉軸平移至與座標軸重合,對應平移操作
- 旋轉,對應操作
- 步驟1的逆過程,對應操作
整個過程就是
對於不平行於座標軸的,可按如下方法處理。(該方法實際上涵蓋了上面的情況)
- 將旋轉軸平移至原點
- 將旋轉軸旋轉至YOZ平面
- 將旋轉軸旋轉至於Z軸重合
- 繞Z軸旋轉θ度
- 執行步驟3的逆過程
- 執行步驟2的逆過程
- 執行步驟1的逆過程
假設用v1(a1, b2, c2)和v2(a2, b2, c2)來表示旋轉軸,θ表示旋轉角度。爲了方便推導,暫時使用右手系並使用列向量,待得出矩陣後轉置一下即可,上面步驟對應的流程圖如下。
步驟1是一個平移操作,將v1v2平移至原點,對應的矩陣爲
步驟2是一個旋轉操作,將p(p = v2 -v1)旋轉至XOZ平面,步驟3也是一個旋轉操作,將p旋轉至與Z軸重合,這兩個操作對應的圖如下。
做點p在平面YOZ上的投影點q。再過q做Z軸垂線,則r是p繞X軸旋轉所得,且旋轉角度爲α,且
,
於是旋轉矩陣爲
現在將r繞Y軸旋轉至與Z軸重合,旋轉的角度爲-beta(方向爲順時針),且
,
於是得到旋轉矩陣爲
最後是繞Z軸旋轉,對應的矩陣如下
如果旋轉軸是過原點的,那麼第一步和最後一步的平移操作可以省略,也就是把中間五個矩陣連乘起來,再轉置一下,得到下面的繞任意軸旋轉的矩陣
即
對應的函數代碼如下。
void RotateArbitraryAxis(D3DXMATRIX* pOut, D3DXVECTOR3* axis, float theta) { D3DXVec3Normalize(axis, axis); float u = axis->x; float v = axis->y; float w = axis->z; pOut->m[0][0] = cosf(theta) + (u * u) * (1 - cosf(theta)); pOut->m[0][1] = u * v * (1 - cosf(theta)) + w * sinf(theta); pOut->m[0][2] = u * w * (1 - cosf(theta)) - v * sinf(theta); pOut->m[0][3] = 0; pOut->m[1][0] = u * v * (1 - cosf(theta)) - w * sinf(theta); pOut->m[1][1] = cosf(theta) + v * v * (1 - cosf(theta)); pOut->m[1][2] = w * v * (1 - cosf(theta)) + u * sinf(theta); pOut->m[1][3] = 0; pOut->m[2][0] = u * w * (1 - cosf(theta)) + v * sinf(theta); pOut->m[2][1] = v * w * (1 - cosf(theta)) - u * sinf(theta); pOut->m[2][2] = cosf(theta) + w * w * (1 - cosf(theta)); pOut->m[2][3] = 0; pOut->m[3][0] = 0; pOut->m[3][1] = 0; pOut->m[3][2] = 0; pOut->m[3][3] = 1;
如果旋轉軸是不過原點的,那麼第一步和最後一步就不能省略,將所有七個矩陣連乘起來,得到如下變換矩陣
對應如下這個超長的矩陣,在這裏(u, v, w) = (a2, b2, c2) - (a1, b1, c1),且是單位向量,a, b, c分別表示(a1, b1, c1)
將上面的過程寫成函數,該函數接受四個參數,第一個參數是一個輸出參數,用來保存得到的旋轉矩陣,第二個和第三個參數是旋轉軸的兩個端點,最後一個參數是旋轉角度θ,注意,在函數中我們已經將上面的矩陣轉置了,因爲上面是按照列向量計算的。
void RotateArbitraryLine(D3DXMATRIX* pOut, D3DXVECTOR3* v1, D3DXVECTOR3* v2, float theta) { float a = v1->x; float b = v1->y; float c = v1->z; D3DXVECTOR3 p = *v2 - *v1; D3DXVec3Normalize(&p, &p); float u = p.x; float v = p.y; float w = p.z; float uu = u * u; float uv = u * v; float uw = u * w; float vv = v * v; float vw = v * w; float ww = w * w; float au = a * u; float av = a * v; float aw = a * w; float bu = b * u; float bv = b * v; float bw = b * w; float cu = c * u; float cv = c * v; float cw = c * w; float costheta = cosf(theta); float sintheta = sinf(theta); pOut->m[0][0] = uu + (vv + ww) * costheta; pOut->m[0][1] = uv * (1 - costheta) + w * sintheta; pOut->m[0][2] = uw * (1 - costheta) - v * sintheta; pOut->m[0][3] = 0; pOut->m[1][0] = uv * (1 - costheta) - w * sintheta; pOut->m[1][1] = vv + (uu + ww) * costheta; pOut->m[1][2] = vw * (1 - costheta) + u * sintheta; pOut->m[1][3] = 0; pOut->m[2][0] = uw * (1 - costheta) + v * sintheta; pOut->m[2][1] = vw * (1 - costheta) - u * sintheta; pOut->m[2][2] = ww + (uu + vv) * costheta; pOut->m[2][3] = 0; pOut->m[3][0] = (a * (vv + ww) - u * (bv + cw)) * (1 - costheta) + (bw - cv) * sintheta; pOut->m[3][1] = (b * (uu + ww) - v * (au + cw)) * (1 - costheta) + (cu - aw) * sintheta; pOut->m[3][2] = (c * (uu + vv) - w * (au + bv)) * (1 - costheta) + (av - bu) * sintheta; pOut->m[3][3] = 1; }