關於Python的ARCH包（二）

1.單變量波動率模型
1.1引言
1.2 舉例
1.3 預測

1.4 預測舉例

1.5 預測類型
1.6 均值模型

1.7 波動率過程

1.8 不變方差過程
1.9 分佈

1.10 背景及引用

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1.1 關於ARCH 模型的介紹

 

1.1.1理論模型

ARCH 模型是一種流行的波動率建模方法，其主要使用收益率或殘差的觀測值作爲波動率參考方式。一種基本的GARCH 模型表示如下：

 

完整的GARCH模型需要上述三個部分，然而簡單的計算可以利用下式得出：

import datetime as dt

import pandas_datareader.data as web

from arch import arch_model

start = dt.datetime(2000, 1, 1)
end = dt.datetime(2014, 1, 1)
sp500 = web.DataReader('^GSPC', 'yahoo', start=start, end=end)
returns = 100 * sp500['Adj Close'].pct_change().dropna()
am = arch_model(returns)

注：實際無法運行，由於Yahoo網絡變動，導致出現提示：

ImmediateDeprecationError: 
Yahoo Daily has been immediately deprecated due to large breaks in the API without the
introduction of a stable replacement. Pull Requests to re-enable these data
connectors are welcome.

See https://github.com/pydata/pandas-datareader/issues

使用其他收益率數據後，可直接運行：

from arch import arch_model

am = arch_model(returns)

也可從結構設計開始手動構建ARCH模型：

from arch import ConstantMean, GARCH, Normal

am = ConstantMean(returns)
am.volatility = GARCH(1, 0, 1)
am.distribution = Normal()

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這幾行代碼已經無法正常使用，應該是升級導致。因此，直接的使用應該是：

am = arch_model(abc3.iloc[1:800,:])
res=am.fit() #擬合

res.summary#擬合結果

1.1.2 關鍵內容：關於arch_model方法

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arch.arch_model(y, x=None, mean='Constant', lags=0, vol='Garch', p=1, o=0, q=1, power=2.0, dist='Normal', hold_back=None)[source]

使用便利函數以便arch模型快速初始化：

Parameters:	y ({ndarray, Series, None}) – 因變量 x ({np.array, DataFrame}, optional) –外生變量.如果沒有外生變量則模型自動省略。 mean (str, optional) – 均值模型的名稱.目前支持: ‘Constant’, ‘Zero’, ‘ARX’ 以及 ‘HARX’ lags (int or list (int), optional) –一個整數標量，用來表明滯後階，或者使用表明滯後位置的整數列表。 vol (str, optional) – 波動率模型的名稱，目前支持: ‘GARCH’ （默認）, ‘ARCH’, ‘EGARCH’, ‘FIARCH’ 以及 ‘HARCH’。 p (int, optional) – 對稱隨機數的滯後階（譯者注：即扣除均值後的部分）。 o (int, optional) – 非對稱數據的滯後階 q (int, optional) – 波動率或對應變量的滯後階 power (float, optional) – 使用GARCH或相關模型的精度 dist (int, optional) – 誤差分佈的名稱，目前支持下列分佈： 正態分佈: ‘normal’, ‘gaussian’ (default) 學生T分佈: ‘t’, ‘studentst’ 偏態學生T分佈: ‘skewstudent’, ‘skewt’ 通用誤差分佈: ‘ged’, ‘generalized error” hold_back (int) – 估計模型參數時樣本最初需排除的觀察值數. 對同一樣本使用不同的滯後階來比較模型時使用該參數。
Returns:	model – Configured ARCH model
Return type:	ARCHModel

除了直接使用arch_model以外，也可以具體表明GARCH參數來描述均值及波動率模型：

am = arch_model(returns, mean='AR', lags=2, vol='harch', p=[1, 5, 22])

下面可以是一個0均值，TGARCH模型，誤差爲學生T分佈的通用ARCH模型：

am = arch_model(returns, mean='zero', p=1, o=1, q=1, power=1.0, dist='StudentsT')

注意：

輸入內容並非特指，均值爲0的滯後期設定等，默認忽略。

模型結果

所有模型返回同樣的對象，即結果類(ARCHModelResult)

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1.1.3 ARCHModelResult

class arch.univariate.base.ARCHModelResult(params, param_cov, r2, resid, volatility, cov_type, dep_var, names, loglikelihood, is_pandas, optim_output, fit_start, fit_stop, model)[source]

 ARCHModel 模型的估計結果

Parameters:

params (ndarray) – 估計參數 param_cov ({ndarray, None}) – 估計參數的方差協方差矩陣.如果爲空，則表示使用方法基於參數協方差來計算模型方差。 r2 (float) – 模型R2（即可決係數或判決係數） resid (ndarray) – 模型殘差。殘差矩陣大小相同，幷包括估計中未使用的空值。 volatility (ndarray) – 來自模型的條件波動率。 cov_type (str) – 描述協方差估計值的字符串。 dep_var (Series) – 因變量。 names (list (str)) – 模型參數名稱。 loglikelihood (float) – 估計參數的對數似然率。 is_pandas (bool) – 判斷原始輸入數據是否是pandas類型。 fit_start (int) – 用來擬合模型的第一個觀察值的整數索引。 fit_stop (int) – 最後一個觀察值的整數索引，切片表示： fit_start:fit_stop model (ARCHModel) – 用來估計參數的模型。

 

summary() [source] :對結果進行彙總。

plot() ：對波動率和標準化的殘差進行繪圖。

conf_int()[source] ：置信區間。

loglikelihood ：浮點型，對數似然率的值。

params ：時間序列類型，估計所得參數。

param_cov ：DataFrame類型，估計參數的方差協方差。

resid ：{ndarray, Series}：觀察值數組，包括模型殘差。

modelARCHModel –Model：用來擬合的模型實例

conf_int(alpha=0.05)[source]

Parameters:	alpha (浮點型,可選) – 構建置信區間的規模（即概率）.
Returns:	ci – 數組型，第i行包括第i個參數的置信區間。
Return type:	ndarray（n維數組型）

forecast (params=None, horizon=1, start=None, align='origin', method='analytic', simulations=1000, rng=None)

利用估計所得模型參數進行預測

Parameters:	params (ndarray, optional) –使用的替代參數。如爲空，則使用模型擬合的參數，其大小必須與模型擬合所得參數一致。 horizon (int, optional) – 預測步數。 start ({int, datetime, Timestamp, str}, optional) – 一個整數型，日期型或字符串型數據，表示用作預測的第一個觀察值。日期型僅僅適用於具有日期型索引的pandas類型數據。字符串型必須可以轉換爲日期型數據，比如 ‘1945-01-01’. align (str, optional) – 爲 ‘origin’ 或 ‘target’. 當爲 ‘origin’時，第t行預測包括的預測值爲 t+1, t+2, …, t+h. 當爲‘target’時，第t行以t-1行爲基礎進行1步式預測，t-2行爲基礎進行2步式預測，或以t-h爲基礎進行h步預測。 如選擇h步預測，‘target’方式簡化了預測誤差計算。  method ({'analytic', 'simulation', 'bootstrap'}, optional) – 執行預測的方法。默認爲解析型 （analytic）.該方法僅僅影響預測結果的方差。 並非全部波動率模型支持全部方法。比如，波動率模型並不支持平方模式下的變化，比如EGARCH 或者TARCH， 這些方法當預測步數大於1時不再支持‘analytic’ 方法。 simulations (int, optional) – 使用模擬或拔靴等方法計算預測結果的次數。 rng (callable, optional) – 基於模擬預測的自主隨機數生成器方式。當使用rng語法用於2維元組（simulations,horizon）時，必須生成隨機樣本。
Returns:	forecasts – t*h data frame 的預測結果。其預測或計算方式由align參數控制。
Return type:	ARCHModelForecast

注意：

最基本的1步式預測將會返回與原始數據同維的向量，這裏第t個值即爲用於t+1時間預測的值。當步數大於1時且計算方式默認時，在 [t, h] 處的預測值即爲在t時間, h+1步的預測值。

如果模型包括外生變量（model.x非空）,那麼僅僅有1步式預測可用。當步數 > 1時，將會出現提示，且所有列除第一列外，全部爲空。

如果計算方式爲 ‘origin’,[t,h] 預測值基於y[:t] 預測且步數爲h+1(那就是說，截至但不包括t). 例如，y[100,2] 表示使用前100個數據點進行3步式預測，即實現結果爲 y[100 + 2]. 如果計算方式是 ‘target’, 那麼同樣的預測表示爲 [102, 2]。這樣是爲了與原始數值一致便於比較，但是仍然在同一列中。

hedgehog_plot(params=None, horizon=10, step=10, start=None, type='volatility', method='analytic', simulations=1000)
基於估計模型將預測結果圖形化。

Parameters:

params ({ndarray, Series}) – 使用的替代參數.如果不填寫，將使用模型擬合參數。其須是1維且與擬合模型的參數大小一致。 horizon (int, optional) – 預測步數。 step (int, optional) – 不同的樣條之間預測步數需跳過的非空預測。 start (int, datetime or str, optional) – 一個整數，日期或字符串數據，表示預測數據使用的第一個觀察值。日期型選項僅僅用於使用日期索引的pandas數據。字符串必須可轉化爲日期型，比如 ‘1945-01-01’. 如果不填寫，則計算起始點被設置爲最早可使用觀察值。 type ({'volatility', 'mean'}) – 數量到圖，預測波動率或預測平均值。 method ({'analytic', 'simulation', 'bootstrap'}) – 進行預測時使用的方法，默認爲解析方法。該方法僅僅影響預測結果位置的方差。並非所有波動率模型支持所有方法。比如，波動率模型並不支持平方模式下的變化，比如EGARCH 或者TARCH， 這些方法當預測步數大於1時不再支持‘analytic’ 方法。 simulations (int) – 使用模擬或拔靴等方法計算預測結果的次數。

Returns:	fig – 圖形手柄
Return type:	圖形

Examples

>>> import pandas as pd
>>> from arch import arch_model
>>> am = arch_model(None,mean='HAR',lags=[1,5,22],vol='Constant')
>>> sim_data = am.simulate([0.1,0.4,0.3,0.2,1.0], 250)
>>> sim_data.index = pd.date_range('2000-01-01',periods=250)
>>> am = arch_model(sim_data['data'],mean='HAR',lags=[1,5,22],  vol='Constant')
>>> res = am.fit()
>>> fig = res.hedgehog_plot(type='mean')

plot(annualize=None, scale=None)

標準化殘差或波動率的圖形化展示

Parameters:	annualize (str, optional) – 數據頻率的字符串，表明圖形應該年華波動率，支持 ‘D’ (daily), ‘W’ (weekly) and ‘M’ (monthly), 表示大小分別爲 252, 52, 和 12。 scale (float, optional) – 年化收益時使用的值.如提供數值，則表示忽略年化，使用實際值。
Returns:	fig – 圖形手柄
Return type:	圖形

舉例：

>>> from arch import arch_model
>>> am = arch_model(None)
>>> sim_data = am.simulate([0.0, 0.01, 0.07, 0.92], 2520)
>>> am = arch_model(sim_data['data'])
>>> res = am.fit(update_freq=0, disp='off')
>>> fig = res.plot()

使用年化波動率畫圖：

>>> fig = res.plot(annualize='D')
使用252日代替360日畫圖，以便更符合實際：
>>> fig = res.plot(scale=360)

summary()[source]

構建模型擬合結果.

Returns:	summary – 對象，包括表格以及便利輸出類內容，諸如 text, html or latex
Return type:	結果實例

如果使用 fix 方法, 該對象 (ARCHModelFixedResult) 與另一對象 (ARCHModelResult)不同，兩者在參數沒有估計時不存在相關關係。

1.1.4 ARCHModelFixedResult

class arch.univariate.base.ARCHModelFixedResult(params, resid, volatility, dep_var, names, loglikelihood, is_pandas, model)[source]

對於固定參數ARCH模型的估計結果

Parameters:	params (ndarray) –估計參數 resid (ndarray) – 模型殘差。殘差結果與原始數據大小一致，且包含未在估計中使用的空值。 volatility (ndarray) – 模型的條件波動率 dep_var (Series) – 因變量 names (list (str)) – 模型參數名 loglikelihood (float) – 參數的對數似然率 is_pandas (bool) – 原始輸入是否是pandas類型 model (ARCHModel) – 所要估計的模型

summary()  source] ：彙總結果。

plot()[source]

對波動率和標準化殘差畫圖。

forecast()[source]

利用模型構建預測。

loglikelihood

float – 對數似然值

params

Series – 所估計參數。

resid

{ndarray, Series} – 包括模型殘差的觀察值數組。

model

ARCHModel – 用於擬合的模型實例。

 

forecast(params=None, horizon=1, start=None, align='origin', method='analytic', simulations=1000, rng=None)[source]

利用估計模型進行預測。

Parameters:	params (ndarray, optional) – 使用的替代參數。如果沒有賦值，則使用模型擬合估計參數，且該參數大小必須與擬合模型參數一致。 horizon (int, optional) – 預測步數。 start ({int, datetime, Timestamp, str}, optional) – 爲整數型，日期型或者字符串型，爲用於預測的第一個觀察值。日期型僅僅適用於具有日期索引的pandas類型數據，字符串型必須可以轉化爲日期型，比如 ‘1945-01-01’. align (str, optional) – 爲原始或者目標兩種方式。當設定爲原始型時，第t行的預測包括預測值的位置爲 t+1, t+2, …, t+h. 當設定爲目標型時，第t行包括在t-1時的第1步預測，第2步包括在t-2時的預測等等諸如此類，即第h步來自t-h時點.既然h步預測和實現得以實現的話，目標型方式簡化描述了預測誤差。  method ({'analytic', 'simulation', 'bootstrap'}, optional) – 用於預測的方法，默認爲解析方法。該方法僅影響預測結果的方差。並非所有波動率模型支持所有方法。尤其是，波動率模型並不能解決平方項，比如EGARCH或TARCH就不支持預測步數大於1的解析方法。 simulations (int, optional) – 模擬或自舉的次數。 rng (callable, optional) – 基於模擬預測的自主隨機數生成器。當大小爲2維元組類型時（模擬機預測步數），必須使用rng(size)語法生成自主隨機樣本。
Returns:	forecasts – t*h大小的dataframe格式的預測結果。該預測的方法由align參數控制。
Return type:	ARCHModelForecast

注意：

最基本的1步式預測會返回與原始數據同樣長度的向量，且第t個值爲t時對於t+1時的預測。當預測步數大於1時且使用默認align方式，[t,h]的預測值即是時間t對h+1步的預測。

如果模型包括外生變量（model.x爲非空），則僅有1步式預測可用。預測步數大於1時將會產生警示信息，所有列除第1列外，將會被空值填充。

如果align方式爲原始方法，對於步數h + 1，預測結果[t,h]包括數據 y[:t] (即趨近t但不包括t). 例如， y[100,2] 爲3步式預測，使用前100個數據點，對應結果 y[100 + 2]. 如果選擇 ‘target’方法, 那麼同樣的預測位置爲 [102, 2], 因此與預測時使用的原始數據一致，但是仍然爲同一列。

hedgehog_plot(params=None, horizon=10, step=10, start=None, type='volatility', method='analytic', simulations=1000)[source]

Plot forecasts from estimated model

Parameters:	params ({ndarray, Series}) – 替代選擇參數。如果沒有賦值，則使用模型擬合參數。該參數爲1維且與模型擬合的參數一致。 horizon (int, optional) – 預測步數。 step (int, optional) – 樣條之間需要略過的預測非負值。 start (int, datetime or str, optional) – 一個整數，日期或字符串型參數，用於表示使用的第1個觀察值。日期型僅僅適用於pandas型且使用日期索引的數據。字符串必須可以轉換爲日期型，比如‘1945-01-01’. 如果沒有賦值，則起始點爲最早預測日期。 type ({'volatility', 'mean'}) – 繪圖數，爲波動率或者預測均值。 method ({'analytic', 'simulation', 'bootstrap'}) – 用於預測的方法，默認爲解析方法。該方法僅僅影響預測結果的方差。並非所有波動率模型支持所有方法。尤其是，波動率模型並不支持平方項，如 EGARCH 或 TARCH就不支持在支持步數大於1的解析方法。 simulations (int) – 自舉或者模擬的次數。
Returns:	fig – 繪圖手柄。
Return type:	圖像

舉例：

>>> import pandas as pd
>>> from arch import arch_model
>>> am = arch_model(None,mean='HAR',lags=[1,5,22],vol='Constant')
>>> sim_data = am.simulate([0.1,0.4,0.3,0.2,1.0], 250)
>>> sim_data.index = pd.date_range('2000-01-01',periods=250)
>>> am = arch_model(sim_data['data'],mean='HAR',lags=[1,5,22],  vol='Constant')
>>> res = am.fit()
>>> fig = res.hedgehog_plot(type='mean')

plot(annualize=None, scale=None)[source]

標準化殘差及條件波動率的圖示。

Parameters:	annualize (str, optional) –包括年化波動率的數據頻率圖示字符串，支持 ‘D’ (daily)型, ‘W’ (weekly)型 及 ‘M’ (monthly)型，分別表示252, 52和12日情況下的方差。 scale (float, optional) – 年化收益使用的參數，如果該參數被賦值，年化參數以實際賦值爲準。
Returns:	fig – 繪圖手柄
Return type:	圖像

舉例

>>> from arch import arch_model
>>> am = arch_model(None)
>>> sim_data = am.simulate([0.0, 0.01, 0.07, 0.92], 2520)
>>> am = arch_model(sim_data['data'])
>>> res = am.fit(update_freq=0, disp='off')
>>> fig = res.plot()

年化波動率圖：

>>> fig = res.plot(annualize='D')

以360日代替慣常使用的 252 日來畫圖：

>>> fig = res.plot(scale=360)

summary()[source]

擬合結果：

Returns:	summary –包括表格以及文本，html和latex等便利輸出內容。
Return type:	結果實例