線性常係數齊次遞推總結
本文爲作者的一些理解，如有錯誤之處請指出。
概念
其實就是這樣一個式子：
\[
a_n=\alpha_1a_{n-1}+\alpha_2a_{n-2}+\alpha_3a_{n-3}+...+\alpha_ka_{n-k}
\]
因爲它是線性的，沒有高次的項，而且次數都相等，沒有一些不是常數的奇怪函數夾在裏面
所以它叫這個名字
還有它的特徵方程是
\[
x^k=\alpha_1x^{k-1}+\alpha_2x^{n-2}+\alpha_3x^{n-3}+...+\alpha_kx^{n-k}
\]
這個解出來會有很大的用途
應用
主要是考慮\(k=2\)的情況主要是高次我不會
那麼就是
\[
f_n=\alpha_1f_{n-1}+\alpha_2f_{n-2}
\]
它的一個特徵方程
\[
x^2=\alpha_1x+\alpha_2
\]
有三種解的情況：
1.兩個實根：
有
\[
f_n=cx_1^n+dx_2^n
\]
我們將幾個知道\(f_n\)的\(n\)帶進去，就可以解出來了
例如斐波那契數列：
\[
f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\\
f_0=0,f_1=1
\]
特徵方程:
\[
x^2=x+1\\
x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt5}{2}
\]
代入\(f_0=0,f_1=1\)
\[\begin{cases} 0=c+d\\ \\ \\
1=c*\frac{1+\sqrt5}{2}+d*\frac{1-\sqrt5}{2}
\end{cases}\]
解得
\[
c=\frac{\sqrt 5}{5},d=-\frac{\sqrt 5}{5}
\]
所以通項公式
\[
f_n=\frac{\sqrt 5}{5}\left((\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n\right)
\]
2.一個實根
和上面一樣代
其中
\[
f_n=(c+dn)x^n
\]
3.有一組共軛復根
有一對共軛復根\(x_1=ρeiθ\)和\(x_2=ρe-iθ\)時，
\(f_n=c*ρncosnθ+d*ρnsinnθ\)
其中，\(c,d\)是待定係數。
一些題目
以後再補，咕咕咕