歐拉數學習筆記
定義
定義\(\left<\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right>\)爲長度爲\(n\)的排列\(p\),滿足\(p_j<p_{j+1}\)的數目爲\(i\)的排列數,也就是歐拉數。
求法
首先可以考慮dp轉移\(\left<\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right>\),考慮現在有\(1\sim n-1\),加入\(n\):
- 如果\(n\)加在排列最左邊,數目不變,由\(\left<\begin{matrix}{n-1}\\i\end{matrix}\right>\)轉移
- 如果\(n\)加在排列最左邊,數目增加,由\(\left<\begin{matrix}{n-1}\\{i-1}\end{matrix}\right>\)轉移
- 插在某個\(p_j<p_{j+1}\)中間,數目不變,由\(\left<\begin{matrix}{n-1}\\{i}\end{matrix}\right>\times i\)轉移
- 插在某個\(p_j>p_{j+1}\)中間,數目增加,由\(\left<\begin{matrix}{n-1}\\{i-1}\end{matrix}\right>\times (n-1-i)\)轉移
總轉移方程:
但是有些出題人就說了:我計數題都出\(1e5\),你這麼遞推,我很不滿意!
下面給出容斥求法:
設\(\begin{vmatrix}n\\k\end{vmatrix}\)表示長度爲\(n\)的排列,至少有\(k\)個\(p_j<p_{j+1}\)的方案數。
二項式反演:
考慮求\(\begin{vmatrix}n\\k\end{vmatrix}\),將小於號連成的兩個位置看成一個連通塊,那麼一共就有\(n-k\)個連通塊,那麼聯通塊內部排列只有一種,因爲每個連通塊不能爲空,所以一個連通塊的 EGF 就是\(e^x-1\),因爲是「至少」,所以兩個連通塊之間可以隨意合併,那麼\(\begin{vmatrix}n\\k\end{vmatrix}=n![x^n](e^x-1)^{n-k}\)
把上式用二項式定理拆開:
卷一下就可以求出每個\(\begin{vmatrix}n\\k\end{vmatrix}\)了。
最後我們再 NTT 加速反演就可以求出\(\left<\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right>\)了,總複雜度\(O(n\log n)\)。
但是發現上面的做法還是naive了,發現可以不用卷兩遍。
把\(\begin{vmatrix}n\\k\end{vmatrix}=\sum_{i=0}^{n-k}{n-k\choose i} i^n (-1)^{n-k-i}\)直接代回\(\left<\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right>=\sum\limits_{i=k}^n(-1)^{i-k}\dbinom ik\begin{vmatrix}n\\i\end{vmatrix}\),那麼有
考慮後面\(\sum_{i=0}^n{i\choose k}{n-i\choose j}\)怎麼求。
然後可以\(O(n)\)算出一個\(\left<\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right>\)了(一行減法卷積\(O(n\log n)\))。
應用
CF1349F1 Slime and Sequences (Easy Version)
直接求好序列十分頭疼,所以我們建立長度爲\(n\)的好序列與長度爲\(n\)的排列之間的關聯。
對於一個排列\(p\),中的某個\(p_i\),如果\(j\in[1,i)\)中有\(k\)個\(p_{j}<p_{j+1}\),那麼\(a_{p_i}=k+1\)。
這樣構造的\(p\)與\(a\)一一對應,下面簡要證明:
首先\(a\)中的\(1\)肯定放在最前面,且對於\(p\)中極長的前綴\(p_{1...k}\)滿足\(p_{i}>p_{i+1},i\in[1,k)\),\(a_{p_{1...k}}=1\),如果我們要填\(2\)的話一定會使得有一個\(1\)在\(2\)前面,\(2,3\)的情況同理。
感性理解一下就好了
對於\(ans_k\)考慮每個位置\(i\)的貢獻,那麼有
因爲不會拉格朗日反演,所以 F2 鴿了。