十大算法之管窺算法

本文將通過一些實例的講解來作爲算法入門的一個階梯，更爲主要的是記錄我在學習算法過程中對算法的一些理解，希望能幫助到自己也能幫助到觀看到這篇博客的人，廢話不多說，馬上開始。

最大連續子數組問題：

給定一個數組A[0,…,n-1]，求A的連續子數組，使得該子數組的和最大。
例如：
數組：1，-2，3，10，-4，7，2，-5
最大子數組：3，10，-4，7，2

分治法：

1. 將數組從中間分開，那麼最大子數組要麼完全在左半邊數組，要麼完全在右半邊數組，要麼跨立在分界點上。
2. 完全在左數組、右數組遞歸解決
3. 跨立在分界點上：實際上是左數組的最大後綴和右數組的最大前綴的和。因此，從分界點向前掃，向後掃即可。

分治法時間複雜度分析：

1. 算法的遞推關係：T(n) = 2*T(n/2)+cn
2. 若n = 2^k,則有
   $T\left ( n \right )=2\cdot T\left ( \frac{n}{2}\right )+c\cdot n =2\cdot \left ( 2\cdot T\left ( \frac{n}{4} \right )+c\cdot \frac{n}{2} \right )+c\cdot n =\cdot \cdot \cdot =2^{k}T\left ( 1 \right )+kc\cdot n=an+cn{log{2}}^{n}$
3. 若$2^{k}<n<2^{k+1}$，則$T\left ( 2^{k} \right )<T\left ( n \right )<T\left (2 ^{k+1} \right )$
4. 則可得$T\left ( n \right )=O\left ( nlogn \right )$