咱們從一個故事說起——解密犯罪團伙。
快過年了，犯罪分子們也開始爲年終獎“奮鬥”了，小哼的家鄉出現了多次搶劫事件。由於強盜人數過於龐大，作案頻繁，警方想查清楚到底有幾個犯罪團伙實在是太不容易了，不過警察叔叔還是蒐集到了一些線索，需要咱們幫忙分析一下。
現在有11個強盜。
1號強盜與2號強盜是同夥。
3號強盜與4號強盜是同夥。
5號強盜與2號強盜是同夥。
4號強盜與6號強盜是同夥。
2號強盜與6號強盜是同夥。
7號強盜與11號強盜是同夥。
8號強盜與7號強盜是同夥。
9號強盜與7號強盜是同夥。
9號強盜與11號強盜是同夥。
1號強盜與6號強盜是同夥。
有一點需要注意：強盜同夥的同夥也是同夥。你能幫助警方查出有多少個獨立的犯罪團伙嗎？
要想解決這個問題，首先我們假設這11個強盜相互是不認識的，他們各自爲政，每個人都是首領，他們只聽從自己的。之後我們將通過警方提供的線索，一步步地來“合併同夥”。
第一步：我們申請一個一維數組f，我們用f[1]~f[11]分別存儲1~11號強盜中每個強盜的首領“BOSS”是誰。
第二步：初始化。根據我們之前的約定，這11個強盜最開始是各自爲政的，每個強盜的BOSS就是自己。“1號強盜”的BOSS就是“1號強盜”自己，因此f[1]的值爲1。以此類推，“11號強盜”的BOSS是“11號強盜”，即f[11]的值爲11。請注意，這是很重要的一步。
我們用數組下標來表示強盜的編號
每個單元格中存儲的是每個強盜的“BOSS”是誰
第三步：開始“合併同夥”，即如果發現目前兩個強盜是同夥，則這兩個強盜是同一個犯罪團伙。現在有一個問題：合併之後誰纔是這個犯罪團伙的BOSS呢？
例如警方得到的第1條線索是“1號強盜與2號強盜是同夥”。“1號強盜”和“2號強盜”原來的BOSS都是自己，如今發現“1號強盜”和“2號強盜”其實是同一個犯罪團伙，那麼究竟是讓“1號強盜”變成“2號強盜”的BOSS，還是讓“2號強盜”變成“1號強盜”的BOSS呢？一個犯罪團伙只能有一個首領。其實無所謂，都可以。我們這裏假定左邊的強盜更厲害一些，給這個規定起個名字叫作“靠左”法則。也就是說“2號強盜”的BOSS將變成“1號強盜”。因此我們將f[2]中的數改爲1，表明“2號強盜”歸順了“1號強盜”。其實準確地說應該是原本歸順“2號強盜”的所有人都歸順了“1號強盜”纔對，只不過此時“2號強盜”只孤身一人，因此只需要將f[2]的值改爲1。不要着急，繼續往後面看，你就知道我爲什麼這樣說了，如下。
警方得到的第2條線索是“3號強盜與4號強盜是同夥”，說明“3號強盜”和“4號強盜”也是同一個犯罪團伙。根據“靠左”原則“4號強盜”歸順了“3號強盜”，所以f[4]中的值要改爲3，原理和剛纔處理第1條線索是一樣的，如下。
警方得到的第3條線索是“5號強盜”與“2號強盜”是同夥。f[5]的值是5，說明“5號強盜”的BOSS仍然是自己。f[2]的值是1，說明“2號強盜”的BOSS是“1號強盜”。根據“靠左”法則，右邊的強盜必須歸順於左邊的強盜。此時你可能會將f[2]的值改爲5。注意啦！此時如果你將f[2]的值改爲5，就是說讓“2號強盜”歸順“5號強盜”。那“1號強盜”可就不幹了，你憑什麼搶我的人？他非跟你幹一架不可。這樣會讓“2號強盜”很難選擇，我究竟歸順誰好呢？
現在我來給你支個招，嘿嘿( ^_^ )古語云“擒賊先擒王”。你直接找“2號強盜”的BOSS“1號強盜”談，讓其歸順“5號強盜”就OK了，也就是將f[1]的值改爲5。現在“2號強盜”的BOSS是“1號強盜”，而“1號強盜”的BOSS變成了“5號強盜”，即“1號強盜”帶領手下“2號強盜”歸順了“5號強盜”，這樣所有的關係信息就都保留下來了。如下。
警方得到的第4條線索是“4號強盜”與“6號強盜”是同夥。f[4]的值是3，f[6]的值是6。根據“靠左”原則，讓“6號強盜”加入“3號犯罪團伙”。我們需要將f[6]的值改爲3。原理和處理第1條和第2條線索相同。
警方得到的第5條線索是“2號強盜”與“6號強盜”是同夥。f[2]的值是1，f[1]的值是5，即“2號強盜”的大BOSS（首領）是“5號強盜”。f[6]的值是3，即“6號強盜”的BOSS是“3號強盜”。根據“靠左”原則和“擒賊先擒王”原則，讓“6號強盜”的BOSS“3號強盜”歸順“2號強盜”的大BOSS（首領）“5號強盜”。因此我們需要將f[3]的值改爲5，即讓“3號強盜”帶領其手下歸順“5號強盜”。
需要特別注意的是，此時，“5號強盜”團伙內部發生了一些變動。我們在尋找“2號強盜”的大BOSS（首領）是誰時，順帶將f[2]從1改成了5，也就是說現在“2號強盜”也變成大BOSS（首領）“5號強盜”的直屬手下了。
這就是強盜團伙的江湖規矩，誰能找到自己幫派的大BOSS（首領），誰就會被大BOSS（首領）提拔，升職加薪，成爲大BOSS（首領）的直屬手下。這種扁平化管理的方式可以有效地提高強盜團伙找大BOSS的效率，在“並查集”算法中有一個專門的術語，叫作“路徑壓縮”，具體代碼在後面展示。
細心的同學會問了，剛纔不是說如果直接把f[2]改成5，“2號強盜”和“1號強盜”之間的關係就斷了嗎？此一時，彼一時。在得到第3條線索的時候，那時候“1號強盜”和“5號強盜”的關係還沒有建立起來，如果把f[2]改爲5，“2號強盜”想要找 “1號強盜”就找不到了。但到了第5條線索的時候，“2號強盜”和“1號強盜”已經都在大BOSS（首領）“5號強盜”手下工作了，這時候將f[2]改爲5，“2號強盜”想找大BOSS（首領）“5號強盜”變得更加方便，而“1號強盜”和“2號強盜”之間的關係也沒有丟失，因此整體上效率變得更高了。
警方得到的第6條線索是“7號強盜”與“11號強盜”是同夥。f[11]的值是11，f[7]的值是7。根據“靠左”原則，讓“11號強盜”歸順“7號強盜”。我們需要將f[11]的值改爲7。
警方得到的第7條線索是“8號強盜”與“7號強盜”是同夥。f[8]的值是8，f[7]的值是7。根據“靠左”原則，讓“7號強盜”歸順“8號強盜”。我們需要將f[7]的值改爲8。
警方得到的第8條線索是“9號強盜”與“7號強盜”是同夥。f[9]的值是9，f[7]的值是8。根據“靠左”原則和“擒賊先擒王”原則，我們需要將f[8]的值改爲9。
警方得到的第9條線索是“9號強盜”與“11號強盜”是同夥。f[9]的值是9，f[11]的值是7。什麼？他們竟然不在同一個犯罪團伙中？這貌似不對吧，通過上圖可以很顯然地看出來“11號強盜”和“9號強盜”都在同一個犯罪團伙中。不過“11號強盜”並不直屬於大BOSS（首領）“9號強盜”，而是歸順在“7號強盜”的手下。現在來看看“7號強盜”又歸順了誰呢？我們發現f[7]=8，也就是說“7號強盜”歸順了“8號強盜”。而f[8]=9，也就是說“8號強盜”歸順了“9號強盜”。我們再來看看“9號強盜”有沒有歸順於別的人。發現f[9]的值還是9，太牛了！說明“9號強盜”的BOSS仍然是自己，他就是所在團伙的大BOSS（首領）。
我們剛纔模擬的過程其實就是遞歸的過程。從“11號強盜”順藤摸瓜一直找到他所在團伙的大BOSS（首領）“9號強盜”。剛纔說了，強盜團伙的江湖規矩是，誰能找到自己幫派的大BOSS（首領），就會被提拔爲首領的直屬手下。經過這一次“路徑壓縮”，一路上“11號強盜”“7號強盜”和“8號強盜”，都找到了自己的大BOSS“9號強盜”。下次再問他們的BOSS是誰的時候，他們就能馬上回答出是“9號強盜”啦。
警方得到的最後一條線索是“1號強盜”與“6號強盜”是同夥。這又是一次“路徑壓縮”的過程。f[1]是5，“1號強盜”的BOSS是“5號強盜”。f[6]是3，“6號強盜”的BOSS是“3號強盜”。f[3]是5，“3號強盜”的BOSS是“5號強盜”。說明“6號強盜”和“1號強盜”是在一個團伙中的，但他現在並不是直接跟着團伙的大BOSS（首領）“5號強盜”，而是跟着“3號強盜”。而經過這次“路徑壓縮”，他的BOSS就改成了“5號強盜”。但是注意，這一次的“路徑壓縮”只發生在“6號強盜”“3號強盜”“5號強盜”這條路徑上，團伙中的“4號強盜”不在被壓縮的路徑上，所以他的BOSS暫時不會改變，還是“3號強盜”。
好了，所有的線索分析完畢，那麼究竟有多少個犯罪團伙呢？我想你從上面的圖中一眼就可以看出來了，一共有3個犯罪團伙，分別是5號犯罪團伙（由5、1、2、3、4、6號強盜組成），9號犯罪團伙（由9、8、7、11號強盜組成）以及10號犯罪團伙（只有10號強盜一個人）。從下面這張圖就可以清晰地看出，如果f[i]=i，就表示此人是一個犯罪團伙的最高領導人，有多少個最高領導人就是有多少個“獨立的犯罪團伙”。最後數組中f[5]=5、f[9]=9、f[10]=10，因此有3個獨立的犯罪團伙。
我們剛纔模擬的過程其實就是並查集的算法。並查集通過一個一維數組來實現，其本質是維護一個森林。剛開始的時候，森林的每個點都是孤立的，也可以理解爲每個點就是一棵只有一個結點的樹，之後通過一些條件，逐漸將這些樹合併成一棵大樹。其實合併的過程就是“認爹”的過程。在“認爹”的過程中，要遵守“靠左”原則和“擒賊先擒王”原則。在每次判斷兩個結點是否已經在同一棵樹中的時候（一棵樹其實就是一個集合），也要注意必須求其根源，中間父親結點（“小BOSS”）是不能說明問題的，必須找到其祖宗（樹的根結點），判斷兩個結點的祖宗是否是同一個根結點才行。下面我將“解密犯罪團伙”這個問題模型化，並給出代碼和註釋：
#include <stdio.h>
int f[1001]={0},n,m,sum=0;
//這裏是初始化，非常地重要，數組裏面存的是自己數組下標的編號就好了。
void init()
{
int i;
for(i=1;i<=n;i++)
f[i]=i;
return;
}
//這是找爹的遞歸函數，不停地去找爹，直到找到祖宗爲止，其實就是去找犯罪團伙的最高領導人，
//“擒賊先擒王”原則。
int getf(int v)
{
if(f[v]==v)
return v;
else
{
//這裏是路徑壓縮，每次在函數返回的時候，順帶把路上遇到的人的“BOSS”改爲最後找
//到的祖宗編號，也就是犯罪團伙的最高領導人編號。這樣可以提高今後找到犯罪團伙的
//最高領導人（其實就是樹的祖先）的速度。
f[v]=getf(f[v]);//這裏進行了路徑壓縮
return f[v];
}
}
//這裏是合併兩子集合的函數
void merge(int v,int u)
{
int t1,t2;//t1、t2分別爲v和u的大BOSS（首領），每次雙方的會談都必須是各自最高領導人才行
t1=getf(v);
t2=getf(u);
if( t1!=t2 ) //判斷兩個結點是否在同一個集合中，即是否爲同一個祖先。
{
f[t2]=t1;
//“靠左”原則，左邊變成右邊的BOSS。即把右邊的集合，作爲左邊集合的子集合。
}
return;
}
//請從此處開始閱讀程序，從主函數開始閱讀程序是一個好習慣。
int main()
{
int i,x,y;
scanf("%d %d",&n,&m);
init(); //初始化是必須的
for(i=1;i<=m;i++)
{
//開始合併犯罪團伙
scanf("%d %d",&x,&y);
merge(x,y);
}
//最後掃描有多少個獨立的犯罪團伙
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(f[i]==i)
sum++;
}
printf("%d\n",sum);
getchar();getchar();
return 0;
}
複製代碼
可以輸入以下數據進行驗證。第一行n m，n表示強盜的人數，m表示警方蒐集到的m條線索。接下來的m行每一行有兩個數a和b，表示強盜a和強盜b是同夥。
11 10
1 2
3 4
5 2
4 6
2 6
7 11
8 7
9 7
9 11
1 6
運行結果是：
3
複製代碼
並查集也稱爲不相交集數據結構。此算法的發展經歷了十多年，研究它的人也很多，其中Robert E. Tarjan做出了很大的貢獻。在此之前John E. Hopcroft和Jeffrey D. Ullman也進行了大量的分析。你是不是又感覺Robert E. Tarjan和John E. Hopcroft很熟悉？沒錯，就是發明了深度優先搜索的兩個人——1986年的圖靈獎得主。你看牛人們從來都不閒着的。他們到處交流，尋找合作伙伴，一起改變世界。
好了，到了本章結尾的部分啦。其實樹還有很多神奇的用法，比如：線段樹、樹狀數組、Trie樹（字典樹）、二叉搜索樹、紅黑樹（是一種平衡二叉搜索樹）等等。這些數據結構較爲複雜，感興趣的同學可以參考其他資料，或等待下一本《啊哈！算法2——偉大思維閃耀時》哈哈。
零基礎徹底弄懂"並查集"
https://bbs.codeaha.com/forum.php?mod=viewthread&tid=11223&fromuid=1
(出處: 啊哈磊_編程從這裏起步)