CodeForces - 438D The Child and Sequence 線段樹取模

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D. The Child and Sequence

題意：

給定一個長度爲n的序列，要求能夠執行m次下列操作：

1.查詢區間[l,r]的和

2.將區間[l,r]的每一個數%=mod

3.修改第x個數爲y

思路：

1、3分別是普通線段樹的區間查詢和單點修改，只要對線段樹稍作修改，使得支持操作2就可以。

如何對一個區間內每個數取模？

首先明確，取模的順序不能更換，(4%3)%2不能換成(4%2)%3，因此用類似lazy標記的思想想要把模的數記錄下來是不可以的。

那麼只能硬着頭皮每個數取模，可是，這樣不會TLE嗎？複雜度O(n*m)肯定會T的，這時候就要用到一個性質：

設x%y = z，

①當y<=x/2時，z<x/2，

②當x/2 < y <= x時，z = x-y < x/2，

③當y>x時，z = x，此時沒必要取模。

因此，對於一個確定的數a[i]，實際取模的次數不會超過log2(a[i]),當a[i] = 1e9時，取模次數≈30

因此，只需要維護一個區間的最大值，當區間最大值<mod時跳過，否則繼續細分，直到爲單點時執行取模操作。

複雜度O(mlogn)

代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
static const int maxn = 100010;
static const int INF = 0x3f3f3f3f;
static const double eps = 1e-6;
static const double pi = acos(-1);

void redirect(){
    #ifdef LOCAL
        freopen("test.txt","r",stdin);
    #endif
}
struct node{
    int l,r,mv;
    ll w;
}tree[4*maxn];
void build(int l,int r,int k){
    tree[k].l = l;tree[k].r = r;
    if(l == r){
        scanf("%I64d",&tree[k].w);
        tree[k].mv = tree[k].w;
        return; 
    }
    int mid = (l+r)>>1;
    build(l,mid,k<<1);
    build(mid+1,r,k<<1|1);
    tree[k].w = tree[k<<1].w + tree[k<<1|1].w;
    tree[k].mv = max(tree[k<<1].mv,tree[k<<1|1].mv);
}
int x,y,md;
inline void modify(int k){
    if(tree[k].mv < md)return;
    if(tree[k].l == tree[k].r){
        tree[k].w %= md,tree[k].mv = tree[k].w;
        return;
    }
    int mid = (tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    if(x <= mid)modify(k<<1);
    if(y > mid)modify(k<<1|1);
    tree[k].w = tree[k<<1].w + tree[k<<1|1].w;
    tree[k].mv = max(tree[k<<1].mv,tree[k<<1|1].mv);
}
inline void change(int k){
    if(tree[k].l == tree[k].r){
        tree[k].w = y;
        tree[k].mv = tree[k].w;
        return;
    }
    int m = (tree[k].l + tree[k].r)>>1;
    if(x <= m)change(k<<1);
    else change(k<<1|1);
    tree[k].w = tree[k<<1].w + tree[k<<1|1].w;
    tree[k].mv = max(tree[k<<1].mv,tree[k<<1|1].mv);
}
ll ans;
inline void sum(int k){
    if(tree[k].l >= x && tree[k].r <= y){
        ans += tree[k].w;
        return;
    }
    int m=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    if(x <= m)sum(k<<1);
    if(y > m)sum(k<<1|1);
}
int main(){
    redirect();
    int n,m,op,mod;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    build(1,n,1);
    while(m--){
        scanf("%d %d %d",&op,&x,&y);
        if(op == 1){
            ans = 0;
            sum(1);
            printf("%I64d\n",ans);
        }
        else if(op == 2){
            scanf("%d",&md);
            modify(1);
        }
        else change(1);
    }
    return 0;
}