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Everything Is Generated In Equal Probability
題意
①給個N(1≤N≤3000),在1~N中等概率取一個數n
②隨機產生一個1~n的排列,記錄逆序對個數
③然後等概率隨機取一個該排列的子序列
④再次記錄逆序對個數
⑤再次等概率去一個子序列……
⑥無窮遞歸下去,求逆序對總和的數學期望E(N)
⑦結果可能爲分數,對998244353取模
思路
樣例信息挖掘
先用兩層循環枚舉分子分母,結合快速冪取分母逆元,將N=2和N=3的答案還原成分數,分別爲1/3和8/9
N=1的時候,n只能取1,排列只有1,不存在數對,自然沒有逆序對
假設N=x時答案爲F(x)
n=x的隨機排列對答案的貢獻期望爲f(x)
算出f(2)和f(3)也沒有什麼用,我們找不到規律,但是等會兒推出來公式可以用它驗證公式的正確性。
公式推導
在長度爲n的隨機排列中,數對(x,y)有個
由於沒有相等元素,正序對(x,y) x<y 個數 == 逆序對(x,y) x>y個數
逆序對期望爲 分裂產生的子序列共有種,其中,長度爲j的有種
則有:
本身期望 裂變期望
裂變期望包含變爲本身(子序列爲本身),移項將其消去得到遞推式:
得到f(i)的遞推公式,帶入i=2和i=3,得到f(2)=2/3 f(3)=2,和我們之前的計算結果相同,故式子正確。
解題方法
我們可以在O(n^2)時間內根據遞推式求出每個f(i)
並求出其前綴和,這樣便可以通過
在O(1)時間內解決每個詢問。
代碼
太懶了,就貼個std吧
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define rep(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); ++i)
#define per(i, a, b) for(int i = (b) - 1; i >= (a); --i)
#define dd(a) cout << #a << " = " << a << " "
#define de(a) cout << #a << " = " << a << endl
#define sz(a) (int)a.size()
#define all(a) a.begin(), a.end()
#define pw(a) (1ll << (a))
#define endl "\n"
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef vector<int> vi;
typedef double db;
const int N = 3030, P = 998244353;
inline int add(int a, int b) {
if((a += b) >= P) a -= P;
return a;
}
inline int mul(int a, int b) {
return 1ll * a * b % P;
}
inline int kpow(int a, int b) {
int r = 1;
while(b) {
if(b & 1) r = r * 1ll * a % P;
a = a * 1ll * a % P;
b >>= 1;
}
return r;
}
int n, f[N], C[N][N], pw[N];
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(0);
std::cin.tie(0);
rep(i, 0, N) C[i][0] = C[i][i] = 1;
rep(i, 1, N) rep(j, 1, i) C[i][j] = add(C[i - 1][j - 1], C[i - 1][j]);
pw[0] = 1;
rep(i, 1, N) pw[i] = pw[i - 1] * 2ll % P;
rep(i, 2, N) {
f[i] = mul(mul(i, i - 1), pw[i - 2]);
rep(j, 0, i) f[i] = add(f[i], mul(C[i][j], f[j]));
f[i] = mul(f[i], kpow(pw[i] - 1, P - 2));
}
while(cin >> n) {
int ans = 0;
rep(i, 1, n + 1) ans = add(ans, f[i]);
ans = mul(ans, kpow(n, P - 2));
cout << ans << endl;
}
return 0;
}
至於O(1)公式(n^2-1)/9爲什麼正確- -我不知道,反正我沒推出來,題解也沒說。