數據結構課程：圖論

圖基礎：

• 定義：描述事物之間的關係。
• 包括：節點集V={V1,V2......,Vn}，邊集合E={e1，e2，......,em},其中ei=（vi，vi‘）
• G=<V,E>
• 包括有向圖和無向圖
• 空間複雜度一般爲：O（n+m）或O(n2）
• 主要應用包括：鄰接矩陣，鄰接表

  
  圖的存儲結構： 
  1、鄰接矩陣表示法： 
  如果 第 1個點和第 3個點 相連則 matrix[0][2]=1;如果兩節點之間有一條弧，則鄰接矩陣中對應的元素爲1；否則爲0。可以看出，這種表示法非常簡單、直接。但是，在鄰接矩陣的所有n*n 個元素中，只有 m個爲非零元。如果網絡比較稀疏，這種表示法浪費大量的存儲空間，從而增加了在網絡中查找弧的時間。 

  
  2、鄰接表表示法： 
  鄰接表表示法將圖以鄰接表（adjacency lists）的形式存儲在計算機中。所謂圖的鄰接表，也就是圖的所有節點的鄰接表的集合；而對每個節點，它的鄰接表就是它的所有出弧。鄰接表表示法就是對圖的每個節點，用一個單向鏈表列出從該節點出發的所有弧，鏈表中每個單元對應於一條出弧。爲了記錄弧上的權，鏈表中每個單元除列出弧的另一個端點外，還可以包含弧上的權等作爲數據域。圖的整個鄰接表可以用一個指針數組表示。 

• 舉例：

拓撲排序基礎：

• 定義：有向無環圖（DAG）
• 場景：任務依賴
• 時間複雜度O(n+m)，附加空間複雜度O(n)
• 每次找入度爲0的點（入度就是沒有指向它的箭頭）
• 維護入度
• 過程：

• 應用：假設你有一些任務，以及這些任務之間的任務依賴，每次任務有一個完成時間，假設可以無限並行，最少要多少時間才能完成？

leetcode例題：參考

207. 課程表

現在你總共有 n 門課需要選，記爲 0 到 n-1。

在選修某些課程之前需要一些先修課程。 例如，想要學習課程 0 ，你需要先完成課程 1 ，我們用一個匹配來表示他們: [0,1]

給定課程總量以及它們的先決條件，判斷是否可能完成所有課程的學習？

示例 1:

輸入: 2, [[1,0]] 
輸出: true
解釋: 總共有 2 門課程。學習課程 1 之前，你需要完成課程 0。所以這是可能的。

示例 2:

輸入: 2, [[1,0],[0,1]]
輸出: false
解釋: 總共有 2 門課程。學習課程 1 之前，你需要先完成​課程 0；並且學習課程 0 之前，你還應先完成課程 1。這是不可能的。

說明:

1. 輸入的先決條件是由邊緣列表表示的圖形，而不是鄰接矩陣。詳情請參見圖的表示法。
2. 你可以假定輸入的先決條件中沒有重複的邊。

提示:

1. 這個問題相當於查找一個循環是否存在於有向圖中。如果存在循環，則不存在拓撲排序，因此不可能選取所有課程進行學習。
2. 通過 DFS 進行拓撲排序 - 一個關於Coursera的精彩視頻教程（21分鐘），介紹拓撲排序的基本概念。

3. 拓撲排序也可以通過 BFS 完成。

class Solution:
    def canFinish(self, numCourses, prerequisites):
        """
        :type numCourses: int
        :type prerequisites: List[List[int]]
        :rtype: bool
        """
        graph = collections.defaultdict(list)
        indegrees = collections.defaultdict(int)
        for u, v in prerequisites:
            graph[v].append(u)
            indegrees[u] += 1
        for i in range(numCourses):
            zeroDegree = False
            for j in range(numCourses):
                if indegrees[j] == 0:
                    zeroDegree = True
                    break
            if not zeroDegree: return False
            indegrees[j] = -1
            for node in graph[j]:
                indegrees[node] -= 1
        return True 

最短路基礎：

• 定義：假設E集合（邊集）是有權重的
• 具象：V集合代表城市，E集合代表城市間高速路，權重爲高速路長度，兩點間存在若干條通路，長度最短的通路即最短路

單元最短路（Dijkstra）：

• 定義：給定起點s，求到任意點的最短路
• 貪心：每次找最近的點
• 維護s到每個點的距離
• 局部最優等於全局最優
• 時間複雜度O(n2)，附加空間複雜度O(n)
• 算法：

• SPFA（Bellman-Ford）算法：參考

單源次短路：

• 給定起點s，求到任意點的次短路（距離大於最短路的最短的路）
• v的次短路：頂點u的最短路再加上u->v的邊，頂點u的次短路再加上u->v的邊
• 在原來的代碼上加入次短路即可

任意兩點最短路（Floyed）：

• 求到任兩點間的最短路
• 類似動態規劃：每次加入一個點
• 維護任意兩點間的距離
• 時間複雜度O(n3)，附加空間複雜度O(n2)
• 算法：

最小生成樹（Prim）：

• 定義：無向圖
• 樹-> 無環（圈）
• 破圈法，避圈法
• 時間複雜度O(n^2)

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To be continue......