高斯分佈函數解析

高斯模糊是一種圖像模糊濾波器,它用正態分佈計算圖像中每個像素的變換。N 維空間正態分佈方程爲

 

在二維空間定義爲

 

其中 r 是模糊半徑 (r2 = u2 + v2),σ 是正態分佈的標準偏差。在二維空間中,這個公式生成的曲面的等高線是從中心開始呈正態分佈的同心圓。分佈不爲零的像素組成的卷積矩陣與原始圖像做變換。每個像素的值都是周圍相鄰像素值的加權平均。原始像素的值有最大的高斯分佈值,所以有最大的權重,相鄰像素隨着距離原始像素越來越遠,其權重也越來越小。這樣進行模糊處理比其它的均衡模糊濾波器更高地保留了邊緣效果,參見尺度空間實現

理論上來講,圖像中每點的分佈都不爲零,這也就是說每個像素的計算都需要包含整幅圖像。在實際應用中,在計算高斯函數的離散近似時,在大概3σ距離之外的像素都可以看作不起作用,這些像素的計算也就可以忽略。通常,圖像處理程序只需要計算 的矩陣就可以保證相關像素影響。

除了圓形對稱之外,高斯模糊也可以在二維圖像上對兩個獨立的一維空間分別進行計算,這叫作線性可分。這也就是說,使用二維矩陣變換得到的效果也可以通過在水平方向進行一維高斯矩陣變換加上豎直方向的一維高斯矩陣變換得到。從計算的角度來看,這是一項有用的特性,因爲這樣只需要 

次計算,而不可分的矩陣則需要 次計算,其中 M,N 是需要進行濾波的圖像的維數,mn 是濾波器的維數。

對一幅圖像進行多次連續高斯模糊的效果與一次更大的高斯模糊可以產生同樣的效果,大的高斯模糊的半徑是所用多個高斯模糊半徑平方和的平方根。例如,使用半徑分別爲 6 和 8 的兩次高斯模糊變換得到的效果等同於一次半徑爲 10 的高斯模糊效果,。根據這個關係,使用多個連續較小的高斯模糊處理不會比單個高斯較大處理時間要少。

在減小圖像尺寸的場合經常使用高斯模糊。在進行欠採樣的時候,通常在採樣之前對圖像進行低通濾波處理。這樣就可以保證在採樣圖像中不會出現虛假的高頻信息。高斯模糊有很好的特性,如沒有明顯的邊界,這樣就不會在濾波圖像中形成震盪。


 

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