樣本方差的無偏估計與（n-1）的由來

假設X爲獨立同分布的一組隨機變量，總體爲M，隨機抽取N個隨機變量構成一個樣本，和是總體的均值和方差, 是常數。是對樣本的均值和方差，由於樣本是隨機抽取的，也是隨機的。

既然是隨機變量，就可以觀察他們的均值方差。

這裏需要注意的是，由於樣本是隨機的，所以X₁，X₂，X₃...都是隨機的。 上式中可以看出， 樣本均值這個變量的期望就是總體的均值，因此可以說均值是無偏的。

接下來看樣本方差的均值：

根據方差公式，可以得到：

因此：

這裏可以看出樣本方差的期望並不是無偏的，要無偏估計，應該再乘上一個係數：

所以無偏估計的樣本的方差：

。

n-1既爲自由度，就是說，在一個容量爲n的樣本里，當確定了n-1個變量以後，第n個變量就確定了，因爲樣本均值是無偏的。