回想起第一次看到正則表達式的時候，眼睛裏大概都是 $7^(0^=]W-\^*d+，心裏我是拒絕的。不過在後面的日常工作裏，越來越多地開始使用到正則表達式，正則表達式也逐漸成爲一個很常用的工具。
要掌握一種工具除了瞭解它的用法，瞭解它的原理也是同樣重要的，一般來說，正則引擎可以粗略地分爲兩類：DFA（Deterministic Finite Automata）確定性有窮自動機和 NFA （Nondeterministic Finite Automata）不確定性有窮自動機。
使用 NFA 的工具包括.NET、PHP、Ruby、Perl、Python、GNU Emacs、ed、sec、vi、grep的多數版本，甚至還有某些版本的egrep和awk。而採用 DFA 的工具主要有egrep、awk、lex和flex。也有些系統採用了混合引擎，它們會根據任務的不同選擇合適的引擎（甚至對同一表達式中的不同部分採用不同的引擎，以求得功能與速度之間的最佳平衡）。—— Jeffrey E.F. Friedl《精通正則表達式》
DFA 與 NFA 都稱爲有窮自動機，兩者有很多相似的地方，自動機本質上是與狀態轉換圖類似的圖。（注：本文不會嚴格給自動機下定義，深入理解自動機可以閱讀《自動機理論、語言和計算導論》。）
NFA
一個 NFA 分爲以下幾個部分：
- 一個初始狀態
- 一個或多個終結狀態
- 狀態轉移函數
上圖是一個具有兩個狀態 q0 和 q1 的 NFA，初始狀態爲 q0（沒有前序狀態），終結狀態爲 q1（兩層圓圈標識）。在 q0 上有一根箭頭指向 q1，這代表當 NFA 處在 q0 狀態時，接受輸入 a，會轉移到狀態 q1。
當要接受一個串時，我們會將 NFA 初始化爲初始狀態，然後根據輸入來進行狀態轉移，如果輸入結束後 NFA 處在結束狀態，那就意味着接受成功，如果輸入的符號沒有對應的狀態轉移，或輸入結束後 NFA 沒有處在結束狀態，則意味着接受失敗。
由上可知這個 NFA 能接受且僅能接受字符串 a。
那爲什麼叫做 NFA 呢，因爲 對於同一個狀態與同一個輸入符號，NFA 可以到達不同的狀態，如下圖：
在 q0 上時，當輸入爲 a，該 NFA 可以繼續回到 q0 或者到達 q1，所以該 NFA 可以接受 abb（q0 -> q1 -> q2 -> q3），也可以接受 aabb（q0 -> q0 -> q1 -> q2 -> q3），同樣接受 ababb、aaabbbabababb 等等，你可能已經發現了，這個 NFA 表示的正則表達式正是 (a|b)*abb
ε-NFA
除了能到達多個狀態之外，NFA 還能接受空符號 ε，如下圖：
這是一個接受 (a+|b+) 的 NFA，因爲存在路徑 q0 -ε-> q1 -a-> q2 -a-> q2，ε 代表空串，在連接時移除，所以這個路徑即代表接受 aa。
你可能會覺得爲什麼不直接使用 q0 通過 a 連接 q2，通過 b 連接到 q4，這是因爲 ε 主要起連接的作用，介紹到後面會感受到這點。
DFA
介紹完了不確定性有窮自動機，確定性有窮自動機就容易理解了，DFA 和 NFA 的不同之處就在於：
- 沒有
ε轉移 - 對於同一狀態和同一輸入，只會有一個轉移
那麼 DFA 要比 NFA 簡單地多，爲什麼不直接使用 DFA 實現呢？這是因爲對於正則語言的描述，構造 NFA 往往要比構造 DFA 容易得多，比如上文提到的 (a|b)*abb，NFA 很容易構造和理解：
但直接構造與之對應的 DFA 就沒那麼容易了，你可以先嚐試構造一下，結果大概就是這樣：
所以 NFA 容易構造，但是因爲其不確定性很難用程序實現狀態轉移邏輯；NFA 不容易構造，但是因爲其確定性很容易用程序來實現狀態轉移邏輯，怎麼辦呢？
神奇的是每一個 NFA 都有對應的 DFA，所以我們一般會先根據正則表達式構建 NFA，然後可以轉化成對應的 DFA，最後進行識別。
McMaughton-Yamada-Thompson 算法
McMaughton-Yamada-Thompson 算法可以將任何正則表達式轉變爲接受相同語言的 NFA。它分爲兩個規則：
基本規則
- 對於表達式
ε，構造下面的 NFA： - 對於非
ε，構造下面的 NFA：
歸納規則
假設正則表達式 s 和 t 的 NFA 分別爲 N(s) 和 N(t)，那麼對於一個新的正則表達式 r，則如下構造 N(r)：
並
當 r = s|t，N(r) 爲
連接
當 r = st，N(r) 爲
閉包
當 r = s*，N(r) 爲
其他的 +，? 等限定符可以類似實現。本文所需關於自動機的知識到此就結束了，接下來就可以開始構建 NFA 了。
基於 NFA 實現
1968 年 Ken Thompson 發表了一篇論文 Regular Expression Search Algorithm，在這篇文章裏，他描述了一種正則表達式編譯器，並催生出了後來的 qed、ed、grep 和 egrep。論文相對來說比較難懂，implementing-a-regular-expression-engine 這篇文章同樣也是借鑑 Thompson 的論文進行實現，本文一定程度也參考了該文章的實現思路。
添加連接符
在構建 NFA 之前，我們需要對正則表達式進行處理，以 (a|b)*abb 爲例，在正則表達式裏是沒有連接符號的，那我們就沒法知道要連接哪兩個 NFA 了。
所以首先我們需要顯式地給表達式添加連接符，比如 ·，可以列出添加規則：
| 左邊符號 / 右邊符號 | * | ( | ) | 並 | 字母 |
|---|---|---|---|---|---|
| * | ❌ | ✅ | ❌ | ❌ | ✅ |
| ( | ❌ | ❌ | ❌ | ❌ | ❌ |
| ) | ❌ | ✅ | ❌ | ❌ | ✅ |
| 並 | ❌ | ❌ | ❌ | ❌ | ❌ |
| 字母 | ❌ | ✅ | ❌ | ❌ | ✅ |
(a|b)*abb 添加完則爲 (a|b)*·a·b·b，實現如下：
中綴表達式轉後綴表達式
如果你寫過計算器應該知道，中綴表達式不利於分析運算符的優先級，在這裏也是一樣，我們需要將表達式從中綴表達式轉爲後綴表達式。
在本文的具體過程如下：
- 如果遇到字母，將其輸出。
- 如果遇到左括號，將其入棧。
- 如果遇到右括號，將棧元素彈出並輸出直到遇到左括號爲止。左括號只彈出不輸出。
- 如果遇到限定符，依次彈出棧頂優先級大於或等於該限定符的限定符，然後將其入棧。
- 如果讀到了輸入的末尾，則將棧中所有元素依次彈出。
在本文實現範圍中，優先級從小到大分別爲
- 連接符
· - 閉包
* - 並
|
實現如下：
如 (a|b)*·c 轉爲後綴表達式 ab|*c·
構建 NFA
由後綴表達式構建 NFA 就容易多了，從左到右讀入表達式內容：
- 如果爲字母 s，構建基本 NFA
N(s)，並將其入棧 - 如果爲
|，彈出棧內兩個元素N(s)、N(t)，構建N(r)將其入棧（r = s|t） - 如果爲
·，彈出棧內兩個元素N(s)、N(t)，構建N(r)將其入棧（r = st） - 如果爲
*，彈出棧內一個元素N(s)，構建N(r)將其入棧（r = s*）
代碼見 automata.ts
構建 DFA
有了 NFA 之後，可以將其轉爲 DFA。NFA 轉 DFA 的方法可以使用 子集構造法，NFA 構建出的 DFA 的每一個狀態，都是包含原始 NFA 多個狀態的一個集合，比如原始 NFA 爲
這裏我們需要使用到一個操作 ε-closure(s)，這個操作代表能夠從 NFA 的狀態 s 開始只通過 ε 轉換到達的 NFA 的狀態集合，比如 ε-closure(q0) = {q0, q1, q3}，我們把這個集合作爲 DFA 的開始狀態 A。
那麼 A 狀態有哪些轉換呢？A 集合裏有 q1 可以接受 a，有 q3 可以接受 b，所以 A 也能接受 a 和 b。當 A 接受 a 時，得到 q2, 那麼 ε-closure(q2) 則作爲 A 狀態接受 a 後到達的狀態 B。同理，A 狀態接受 b 後到達的 ε-closure(q4) 爲狀態 C。
而狀態 B 還可以接受 a，到達的同樣是 ε-closure(q2)，那我們說狀態 B 接受 a 還是到達了狀態 B。同樣，狀態 C 接受 b 也會回到狀態 C。這樣，構造出的 DFA 爲
DFA 的開始狀態即包含 NFA 開始狀態的狀態，終止狀態亦是如此。
搜索
其實我們並不用顯式構建 DFA，而是用這種思想去遍歷 NFA，這本質上是一個圖的搜索，實現代碼如下：
getClosure 代碼如下：
總結
總的來說，基於 NFA 實現簡單的正則表達式引擎，我們一共經過了這麼幾步：
- 添加連接符
- 轉換爲後綴表達式
- 構建 NFA
- 判斷 NFA 是否接受輸入串
完整代碼見 github