生成樹計數

Description

SPOJ PT07D
1：求n個點有標號無根樹個數
2：求n個點有標號有根樹個數
3：求n個點無標號有根樹個數
4：求n個點無標號無根樹個數

Solution

我太菜了現在纔來做這道題
1和2很好求，略去
設fn爲n個點無標號有根樹，考慮刪去根得到了一些無標號有根樹
因爲是無標號，考慮一種大小爲k的子樹，貢獻爲$1+x^k+x^{2k}+x^{3k}+...={1\over 1-x^k}$
且有fk種，所以$F(x)=x\prod_{k>=1}{1\over (1-x^k)^{f_k}}$
兩邊取ln $\ln F(x)=ln x-\sum_{k>=1}f_k\ln (1-x^k)$
兩邊求導 ${F'(x)\over F(x)}={1\over x}+\sum_{k>=1}kf_k{x^{k-1}\over 1-x^k}$
$xF'(x)=F(x)+F(x)\sum_{k>=1}kfk{x^k\over 1-x^k}$
兩邊取[x^n]，$nfn=fn+\sum_{i=1}^{n-1}fi[x^{n-i}]\sum_{k>=1}kfk{x^k\over 1-x^k}$
注意到${x^k\over 1-x^k}=x^k+x^{2k}+x^{3k}+....$，即$(n-1)fn=\sum_{i=1}^{n-1}fi\sum_{k|n-i}kfk$
後面的東西可以提前記一下然後O(n^2)遞推
當然也可以用分治NTT做到O(n log^2 n)

無標號無根樹
首先先求出有根樹fn，設無根樹爲hn，考慮如何唯一表示一棵樹
容易想到重心，那麼我們把根不是重心的全部減掉，不是重心就是有一個子樹大小>n/2
$h_n=f_n-\sum_{i=1}^{n/2}f_if_{n-i}$
注意當n爲偶數時有兩個重心，所以多減了兩邊子樹相同的情況，要加回來

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=1e3+5;

int n,k,p,f[N],g[N];

int pwr(int x,int y) {
	if (y<0) y+=p-1;
	int z=1;x%=p;
	for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%p)
		if (y&1) z=(ll)z*x%p;
	return z;
}

int solve_f(int n) {
	f[1]=1;fo(j,1,n) g[j]=1;
	fo(i,2,n) {
		f[i]=0;
		fo(j,1,i-1) f[i]=(f[i]+(ll)f[j]*g[i-j]%p)%p;
		f[i]=(ll)f[i]*pwr(i-1,p-2)%p;
		for(int j=i;j<=n;j+=i) g[j]=(g[j]+(ll)i*f[i]%p)%p;
	}
	return f[n];
}

int solve_h(int n) {
	int ans=solve_f(n);
	fo(i,1,n/2) ans=(ans-(ll)f[i]*f[n-i]%p+p)%p;
	if (!(n&1)) {
		ans=(ans+(ll)f[n/2]*f[n/2]%p)%p;
		ans=(ans-(ll)f[n/2]*(f[n/2]-1)%p*pwr(2,p-2)%p+p)%p;
	}
	return ans;
}

int main() {
	while (scanf("%d%d%d",&k,&n,&p)!=EOF) {
		if (k==1) printf("%d\n",pwr(n,n-2));
		if (k==2) printf("%d\n",pwr(n,n-1));
		if (k==3) printf("%d\n",solve_f(n));
		if (k==4) printf("%d\n",solve_h(n));
	}
	return 0;
}