[USACO12NOV]同時平衡線Concurrently Balanced Strings DP map 思維

題面

[USACO12NOV]同時平衡線Concurrently Balanced Strings

題解

考慮DP。
\(f[i]\)表示以\(i\)爲左端點的合法區間個數。令\(pos[i]\)表示以\(i\)爲左端點，最靠左的合法右端點。
那麼有如下轉移：
\(f[i] = f[pos[i] + 1] + 1\).
1表示[i, pos[i]]這段合法區間，\(f[pos[i] + 1]\)表示在這段合法區間的基礎上，還可以在後面拼接更多合法區間。

那麼我們的目的就是求\(pos[i]\).
考慮一段區間爲什麼合法？
我們令左括號爲1，右括號爲-1，然後對於每一行單獨求前綴和。
那麼對於每行單獨考慮，一個區間\([l, r]\)需要滿足2個限制：

• \(sum[r] - sum[l - 1] = 0\)
• 區間內任意一點\(i\)滿足\(sum[i] - sum[l - 1] >= 0\)

考慮分開處理這2個限制。
對於每個左端點\(i\)，處理出使得區間前綴爲負的第一個點，那麼只要右端點不超過這個點，就滿足第二點限制。
對於同一列的每一行都求出這個值，然後取min，得到值\(t\),表示第\(i\)列的右端點只要不超過\(t\)就可以對於\(k\)行都滿足第二點限制。
令這個最小的，令左端點\(i\)不滿足第二點限制的右端點爲\(lim[i]\)

然後從大到小枚舉列\(i\)，那麼我們要處理的就是第一點限制。
只需要查詢最近的一個右端點滿足當前列的\(k\)行與第\(i - 1\)列的\(k\)行相同即可，
如果這個最近的右端點都大於等於\(lim[i]\),那麼對於這個左端點就沒有合法方案了。
否則我們就找到了\(pos[i]\).

那麼這兩個東西應該如何求呢？

求\(lim[i]\):

先對每一行求出對應的右端點，然後取\(min\)即可，接下來講如何對於每行求這個右端點。
如果有右端點滿足使得以\(i\)爲左端點的區間前綴和爲負，那麼肯定會有一個右端點最先滿足這個東西，也就是\(sum[j] - sum[i - 1] = -1\).那麼我們查詢滿足\(sum[j] = sum[i - 1] - 1\)的最小值即可。
這個我們從大到小枚舉\(i\),用\(minn[i]\)表示到當前爲止，值爲\(i\)的點的最小下標是多少，然後就可以直接得到了。

求\(pos[i]\):

用和上面類似的方法，只不過我們這次是要找一個使得\(k\)元組相等的最小\(j\)。
因爲\(k\)很小，所以可以把\(k\)個值都存到\(map\)裏暴力找。
當然也有更優美一點的做法，對這\(k\)個數進行\(hash\)然後再丟\(map\)裏面找，這樣\(map\)就只用存1個數了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define R register int
#define LL long long
#define AC 12
#define ac 100100
#define inf 2139062143
#define base 13
#define us signed
#define bu 16777215
#define h(x) (x & bu)
#define g(x) (x + 50000)

int n, m; 
LL ans, f[ac];
int lim[ac], minn[ac];
int Head[AC], date[ac], Next[ac], tot;
char s[ac];
map <us LL, int> M;
struct node{
    int s[AC]; us LL opt;
    
    friend bool operator == (node a, node b)
    {
        for(R i = 1; i <= m; i ++) if(a.s[i] != b.s[i]) return false;
        return true;
    }
}sum[ac];

inline void upmax(int &a, int b) {if(b > a) a = b;}
inline void upmin(int &a, int b) {if(b < a) a = b;}

inline int read()
{
    int x = 0;char c = getchar();
    while(c > '9' || c < '0') c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x;
}

/*void ins(int w)//插入sum[w]
{
    int f = h(sum[w].opt);bool done = false;
    for(R i = Head[f]; i; i = Next[i])
    {
        int now = date[i];
        if(sum[now] == sum[w]) upmin(date[i], w);//保留更小的下標
    }
    if(!done) Head[++ tot] = w, Next[tot] = Head[f], Head[f] = tot;
}

int find(int w)//找到值與sum[w]相同的，最小的x
{
    int go = h(sum[w].opt);
    for(R i = Head[go]; i; i = Next[i])
    {
        int now = date[i];
        if(sum[now] == sum[w]) return now;
    }
    return inf;
}*/

void pre()
{
    m = read(), n = read();
    for(R i = 1; i <= m; i ++)
    {
        scanf("%s", s + 1);
        for(R j = 1; j <= n; j ++) 
            sum[j].s[i] = sum[j - 1].s[i] + ((s[j] == ')') ? -1 : 1);
    }
}

void build()
{
    for(R i = 1; i <= n; i ++) lim[i] = inf;
    for(R i = 1; i <= m; i ++)
    {
        memset(minn, 127, sizeof(minn));
        for(R j = n; j; j --)//對於每行的每個點找右邊的，最近的，區間和爲-1的點(比當前前綴小1
        {
            upmin(minn[g(sum[j].s[i])], j);//先加入，防止第一個括號是右括號
            upmin(lim[j], minn[g(sum[j - 1].s[i] - 1)]);//判斷[l, r] = 0,需要用到sum[l - 1]和sum[r]
        }
    }
    for(R i = 1; i <= n; i ++)
        for(R j = 1; j <= m; j ++)
            sum[i].opt = sum[i].opt * base + sum[i].s[j];
}

void work()
{
    for(R i = n; i; i --)
    {
        int pos = M[sum[i - 1].opt];//找最小的和當前l - 1前綴相同的前綴
        if(pos && pos < lim[i]) f[i] = f[pos + 1] + 1, ans += f[i];
        if(M[sum[i].opt]) upmin(M[sum[i].opt], i);
        else M[sum[i].opt] = i;
    }
    printf("%lld\n", ans);
}

int main()
{
//  freopen("in.in", "r", stdin);
    pre();
    build();
    work();
//  fclose(stdin);
    return 0;
}