NOIP 2014普及组 T4(话说一道PJ组的题就把我卡了一个多小时诶)
这道题在我看第一次的时候是没有意识到这是一道DP题的，然后就摁着DFS敲了好长时间，结果敲了一个TLE
这是DP!!!
下面开始进入正题
题目描述
给出如下定义：
- 子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。
例如，下面左图中选取第22、44行和第22、44、55列交叉位置的元素得到一个2 \times 32×3的子矩阵如右图所示。
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1
的其中一个2 \times 32×3的子矩阵是
4 7 4
8 6 9
-
相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。
-
矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。
本题任务：给定一个nn行mm列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个rr行cc列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含用空格隔开的四个整数n,m,r,cn,m,r,c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。
接下来的nn行，每行包含mm个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个nn行mm列的矩阵。
输出格式：
一个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。
样例：
输入
5 5 2 3 9 3 3 3 9 9 4 8 7 4 1 7 4 6 6 6 8 5 6 9 7 4 5 6 1
输出
6
这道题就是将题目所给你的矩阵进行“选取”行与列的操作，从而得到所求的最大值的集合，但是重要的是我们不知道题目所给的行和列的值是多少，因此我们可以对此进行一个循环中的判断操作，在选出来这个行之后再去考虑列的情况，从而得出最优决策。
这个地方还有一个降维操作，就是我们在一个r * m(事先以及决定了选取那几行，该去考虑列的问题时)的矩阵中选取c列，这个时候我们可以把二维降低到一维，(因为这其中行已经有了判断的标准，我们只需要进行列的操作就足够了).
下面开始讲DP过程：
我们设f[i][j]表示在这个r*m的矩阵中，在其前i列中选择j列（且选的列中包括第i列），组成的子矩阵中，最小值（即其相邻元素的差的绝对值的和的最小值（之后的值等表达也是指的这个东西，即题目要求求出的值））是多少。
这样，推出状态转移方程如下：
f[i][j] = min (f[k][j-1] + hc[i][k] + lc[i])
下面就都是一些细节上的优化，代码里面已经讲的很清楚了。
Code:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; int n,m,r,c,gs=1,minn=0x7fffffff,cmin; //不可能选取0列 int a[50][50]; int ch[50],hc[50][50],lc[50]; //hc[i][j] 对于第i列与第j列之间，所有同一行元素的差的绝对值的和 //lc[i]指的是第i列中所有元素的值 //ch[]是在dfs过程的数组 int f[50][50]; void init() //初始化 { for(int i=1;i<=m;i++) { lc[i] = 0; for(int j=1;j<r;j++) lc[i] += abs(a[ch[j]][i] - a[ch[j + 1]][i]); //注意是+= } for(int i=2;i<=m;i++) { for(int j=1;j<i;j++) //注意j<i { hc[i][j] = 0; //注意初始化 for(int k=1;k<=r;k++) hc[i][j] += abs(a[ch[k]][i] - a[ch[k]][j]); //注意是+= } } } void dp() { for(int i=1;i<=m;i++) { cmin = min(i,c); for(int j=1;j<=cmin;j++) { if(j == 1) //这个边界是只选取一列，就把元素赋进去就好 f[i][j] = lc[i]; else if(j == i) //这个边界是前i列都需要选取 f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + lc[i] + hc[i][j - 1]; else { f[i][j] = 0x7fffffff; //注意初始化 for(int k=j-1;k<i;k++) f[i][j] = min(f[i][j],f[k][j - 1] + lc[i] + hc[i][k]); //取最小值 } if(j == c) //如果这种状态存在，那我们就更新一下 minn = min(minn,f[i][c]); } } } void dfs(int rt) { if(rt > n) // { init(); dp(); return ; } if(r - gs + 1 == n - rt + 1) //敲黑板！ /* 这个地方是一个剪枝，主要优化在了果rt和rt以后的元素必须全部取完，才能满足刚好有r个的条件， 则必须rt，否则便会取到少于r个元素的情况。 这样我们保证了rt > n时所有情况都刚好有r个， */ { ch[gs++] = rt; //注意是gs++而不是++gs dfs(rt + 1); ch[gs--] = 0; //注意是gs--而不是--gs return ; } dfs(rt + 1); if(gs <= r) //如果已经选取满了 { ch[gs++] = rt; //但是还是需要这一步 dfs(rt + 1); ch[gs--] = 0; } } int main() { scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]); //输入初始矩阵 dfs(1); //开始搜索 printf("%d",minn); //答案已经被更新，输出就行 return 0; }