[Luogu P3214] [BZOJ 4339] [HNOI2011]卡农

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题目描述

众所周知卡农是一种复调音乐的写作技法，小余在听卡农音乐时灵感大发，发明了一种新的音乐谱写规则。他将声音分成 $n$ 个音阶，并将音乐分成若干个片段。音乐的每个片段都是由 $1$ 到 $n$ 个音阶构成的和声，即从 $n$ 个音阶中挑选若干个音阶同时演奏出来。为了强调与卡农的不同，他规定任意两个片段所包含的音阶集合都不同。同时为了保持音乐的规律性，他还规定在一段音乐中每个音阶被奏响的次数为偶数。现在的问题是：小余想知道包含 $m$ 个片段的音乐一共有多少种。两段音乐 $a$ 和 $b$ 同种当且仅当将 $a$ 的片段重新排列后可以得到 $b$。例如：假设 $a$

为$\{\{1,2\},\{2,3\}\}$，$b$ 为$\{\{3,2\},\{2,1\}\}$，那么 $a$ 与 $b$ 就是同种音乐。由于种数很多，你只需要

输出答案模 $100000007$（质数）的结果。

输入输出格式

输入格式：

从文件input.txt中读入数据，输入文件仅一行，具体是用空格隔开的两个正整数$n$和$m$，分别表示音阶的数量和音乐中的片段数。$20\%$的数据满足$n,m≤5$，$50\%$的数据满足$n,m≤3000$，$100\%$

的数据满足$n,m≤1000000$。

输出格式：

输出文件 output.txt 仅包含一个非负整数，表示音乐的种数模 $100000007$ 的结果。【输入输出样例】

输入输出样例

输入样例#1：

2 3

输出样例#1：

1

解题分析

题目无非是让我们在选子集的时候满足三个条件：

1. 选的每个元素都出现偶数次
2. 选的子集不为空
3. 不能选重复的子集

假设我们正在考虑计算$dp[i]$。如果只要求满足第一个要求， 直接确定$i-1$个之前选的子集， 第$i$个子集就唯一确定了， 所以这里算出来的方案数是$\binom{2^n-1}{i-1}\times (i-1)$。

然后考虑为空的限制， 发现当且仅当前$i-1$个本身就满足条件才会导致第$i$个为空， 所以减去$dp[i-1]$即可。

最后一个限制， 发现只可能是第$i$个和前$i-1$个中的一个重复了， 那么剩下的$i-2$个就是合法的了， 也就是$dp[i-2]$。 重复的一个的选法有$(2^n-1)-(i-2)$， 然后重复的那个子集在$i-1$个子集中有$i-1$个不同的位置， 因此这一部分减去的贡献是$dp[i-2]\times (i-1)\times (2^n-1-(i-2))$。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define ll long long
#define MX 1005000
#define MOD 100000007
int A[MX], dp[MX];
int pw, n, m, fac = 1;
IN int fpow(R int base, R int tim)
{
	int ret = 1;
	W (tim)
	{
		if (tim & 1) ret = 1ll * ret * base % MOD;
		base = 1ll * base * base % MOD, tim >>= 1;
	}
	return ret;
}
int main(void)
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	pw = (fpow(2, n) - 1 + MOD) % MOD;
	A[0] = 1;
	for (R int i = 1; i <= m; ++i) A[i] = 1ll * (pw - i + 1 + MOD) % MOD * A[i - 1] % MOD, fac = 1ll * fac * i % MOD;
	dp[0] = 1, dp[1] = 0;
	for (R int i = 2; i <= m; ++i) dp[i] = ((A[i - 1] - dp[i - 1] - 1ll * dp[i - 2] * (i - 1) % MOD * (pw - (i - 2)) % MOD) % MOD + MOD) % MOD;
	printf("%lld\n", 1ll * dp[m] * fpow(fac, MOD - 2) % MOD);
}