[AT2383] [AGC015 E] Mr.Aoki Incubator

洛谷傳送門

Atcoder傳送門

題目大意

數軸上有$N$個點，每個點初始時在位置$X_i$，以$V_i$的速度向數軸正方向前進

初始時刻，你可以選擇一些點爲其染色，之後的行走過程中，染色的點會將其碰到的所有點都染上色，之後被染上色的點亦是如此

在所有$2^N$種初始染色方案中，問有多少種初始染色方案，能使得最終所有的點都被染色？答案對$10^9+7$取模

輸入輸出格式

輸入格式

第一行一個正整數$N$。

以下$N​$行， 每行兩個正整數$X_i,V_i​$。

輸出格式

輸出一個正整數， 表示方案數對$10^9+7$取模的結果。

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

3
2 5
6 1
3 7

輸出樣例#1：

6

輸入樣例#2：

4
3 7
2 9
8 16
10 8

輸出樣例#2：

9

解題分析

考慮點$a$被染色， 然後導致點$b$被染色的情況：

• 點$b$速度比$a$慢， 但在點$a$前面。
• 點$b$速度比$a$快， 但在點$a$後面。
• 點$b$速度比$a$慢， 在$a$後面， 但存在點$c$比點$b$速度慢， 在$a$前面。
• 點$b$速度比$a$快， 在$a$前面， 但存在點$c$比點$b$速度快， 在$a$後面。

然後我們觀察第3、 4點， 發現只需要按速度把所有點排序，找到比$i$速度慢且在$i$前面的第一個點$l$， 比$i$速度快且在$i$後面的最後一個點$r$， 那麼對於每個點$i$染色都會導致$[l,r]$的點全部染色。

然後一個數據結構維護$dp$就好了。

代碼如下：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <climits>
#include <set>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define MX 200500
#define gc getchar()
#define ls (now << 1)
#define rs (now << 1 | 1)
#define ll long long 
#define MOD 1000000007
#define lbt(i) ((i) & (-(i)))
template <class T>
IN void in(T &x)
{
	x = 0; R char c = gc;
	for (; !isdigit(c); c = gc);
	for (;  isdigit(c); c = gc)
	x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
template <class T> IN T max(T a, T b) {return a > b ? a : b;}
template <class T> IN T min(T a, T b) {return a < b ? a : b;}
int n, bd;
int tree[MX];
struct INFO {int pos, spd;} dat[MX];
struct Seg {int lb, rb;} seg[MX];
IN bool operator < (const INFO &x, const INFO &y) {return x.spd < y.spd;}
IN bool operator < (const Seg &x, const Seg &y) {return x.rb == y.rb ? x.lb < y.lb : x.rb < y.rb;}
namespace SGT1
{
	int mn[MX << 2], mx[MX << 2];
	IN void pushup(R int now)
	{
		mn[now] = min(mn[ls], mn[rs]);
		mx[now] = max(mx[ls], mx[rs]);
	}
	void build (R int now, R int lef, R int rig)
	{
		if (lef == rig) return mn[now] = mx[now] = dat[lef].pos, void();
		int mid = lef + rig >> 1;
		build(ls, lef, mid), build(rs, mid + 1, rig);
		pushup(now);
	}
	int qmin(R int now, R int lef, R int rig, R int lb, R int rb)
	{
		if (lef >= lb && rig <= rb) return mn[now];
		int mid = lef + rig >> 1, ret = INT_MAX;
		if (lb <= mid) ret = qmin(ls, lef, mid, lb, rb);
		if (rb >  mid) ret = min(ret, qmin(rs, mid + 1, rig, lb, rb));
		return ret;
	}
	int qmax(R int now, R int lef, R int rig, R int lb, R int rb)
	{
		if (lef >= lb && rig <= rb) return mx[now];
		int mid = lef + rig >> 1, ret = -INT_MAX;
		if (lb <= mid) ret = qmax(ls, lef, mid, lb, rb);
		if (rb >  mid) ret = max(ret, qmax(rs, mid + 1, rig, lb, rb));
		return ret;
	}
	int qpos(R int now, R int lef, R int rig, R int lb, R int rb, R int tar, R bool typ)
	{
		if (lef == rig) return lef;
		int mid = lef + rig >> 1;
		if (!typ)//to query the most left point with pos > tar
		{
			if (mx[ls] >= tar) return qpos(ls, lef, mid, lb, rb, tar, typ);
			else return qpos(rs, mid + 1, rig, lb, rb, tar, typ);
		}
		else
		{
			if (mn[rs] <= tar) return qpos(rs, mid + 1, rig, lb, rb, tar, typ);
			else return qpos(ls, lef, mid, lb, rb, tar, typ);
		}
	}
}
IN void add(R int pos, R int v)
{for (; pos <= bd; pos += lbt(pos)) (tree[pos] += v) %= MOD;}
IN int qpfix(R int pos)
{
	int ret = 0;
	for (; pos; pos -= lbt(pos)) (ret += tree[pos]) %= MOD;
	return ret;
}
IN int query(R int lb, R int rb) {return (qpfix(rb) - qpfix(lb - 1) + MOD) % MOD;}
int main(void)
{
	in(n); bd = n + 1;
	for (R int i = 1; i <= n; ++i) in(dat[i].pos), in(dat[i].spd);
	std::sort(dat + 1, dat + 1 + n);
	SGT1::build(1, 1, n);
	for (R int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		seg[i].lb = SGT1::qpos(1, 1, n, 1, i, dat[i].pos, 0);
		seg[i].rb = SGT1::qpos(1, 1, n, i, n, dat[i].pos, 1);
	}
	std::sort(seg + 1, seg + 1 + n);
	add(1, 1);
	for (R int i = 1; i <= n; ++i) seg[i].lb++, seg[i].rb++, add(seg[i].rb, query(seg[i].lb - 1, seg[i].rb));
	printf("%d", query(n + 1, n + 1));
}