【算法】leetcode 837. 新21點（理清思路，動態規劃）

問題來源

• 837. 新21點

837. 新21點
愛麗絲參與一個大致基於紙牌遊戲 “21點” 規則的遊戲，描述如下：

愛麗絲以 0 分開始，並在她的得分少於 K 分時抽取數字。 抽取時，她從 [1, W] 的範圍中隨機獲得一個整數作爲分數進行累計，其中 W 是整數。 每次抽取都是獨立的，其結果具有相同的概率。

當愛麗絲獲得不少於 K 分時，她就停止抽取數字。 愛麗絲的分數不超過 N 的概率是多少？



示例 1：

輸入：N = 10, K = 1, W = 10
輸出：1.00000
說明：愛麗絲得到一張卡，然後停止。
示例 2：

輸入：N = 6, K = 1, W = 10
輸出：0.60000
說明：愛麗絲得到一張卡，然後停止。
在 W = 10 的 6 種可能下，她的得分不超過 N = 6 分。
示例 3：

輸入：N = 21, K = 17, W = 10
輸出：0.73278


提示：

0 <= K <= N <= 10000
1 <= W <= 10000
如果答案與正確答案的誤差不超過 10^-5，則該答案將被視爲正確答案通過。
此問題的判斷限制時間已經減少。

---

大佬解析

• 還有比這更簡單的題解嗎？填格子游戲開始

---

代碼

"""
需求分析：
    愛麗絲參與一個大致基於紙牌遊戲 “21點” 規則的遊戲，描述如下：
        愛麗絲以 0 分開始，並在她的得分少於 K 分時抽取數字。 抽取時，她從 [1, W] 的範圍中隨機獲得一個整數作爲分數進行累計，其中 W 是整數。 每次抽取都是獨立的，其結果具有相同的概率。
        當愛麗絲獲得不少於 K 分時，她就停止抽取數字。 
    愛麗絲的分數不超過 N 的概率是多少？
    
思路：
    假設 dp[x] 爲她手上牌面爲x時，能獲勝的概率，那麼這個概率應該是：dp[x]=1/w * (dp[x+1]+dp[x+2]+dp[x+3]...+dp[x+w])
    因爲抽取的牌面機會都是均等的，她能抽取的面值在 [1,W] 之間，所以將概率之和平均一下就是 dp[x] 的概率。

    強插一段解釋：
        x代表愛麗絲手上的牌面值，dp[x]代表愛麗絲手上持有的牌面值爲x時，她獲勝的概率（遊戲結束時她所持牌面值小於等於N的概率）。
        這個概率是怎麼來的？x分2種情況:

        當x>=K時，愛麗絲會停止抽牌，這個時候遊戲已經結束了，她是贏是輸也已經確定了，所以此時贏的概率要麼1，要麼0
        當x<K時，愛麗絲會繼續抽牌，抽牌是有概率的，所以她是贏是輸也有概率。
        她能抽到的牌面值在 [1,W] 之間，所以抽完後她的牌面在[x+1,x+w]之間，因爲每張牌機率均等，所以抽完後牌面在[x+1,x+w]之間的每個面值概率都是相等的，而假如我們已知當牌面是[x+1,x+w]的勝率(即dp[x+1]...dp[x+w]的值)，那麼可以推導：
        dp[x]=1/w * dp[x+1]+ 1/w * dp[x+2] + 1/w * dp[x+3]...+ 1/w * dp[x+w]
        這個實際上就是動態規劃的狀態轉移方程，不過本例是反着來轉移的。
        
    x 最多能到 K-1，因爲當大於等於 K 時，愛麗絲會停止抽牌，所以當遊戲結束時，即愛麗絲停止抽牌時，她可能達到的最大牌面是 K+W-1，而一開始她的牌面是 0，所以我們用一個長度爲 K+W 的 dp 數組來保存她在所有面值下的勝率。
    最後 dp[0]，也就是最開始愛麗絲還沒有抽牌，她的牌面爲 0 時的勝率，這個就是我們的答案。

"""


class Solution:
    def new21Game(self, N: int, K: int, W: int) -> float:
        dp_arr = [-1] * (K + W)
        s = 0
        for i in range(K, K + W):
            dp_arr[i] = 1 if i <= N else 0
            s += dp_arr[i]

        for i in range(K - 1, -1, -1):
            dp_arr[i] = s / W
            s = s - dp_arr[i + W] + dp_arr[i]
        return dp_arr[0]