多項式的ln、exp、快速冪和開方學習小記

• 不妨又學習了一下多項式的求ln、exp、快速冪和開方操作。

• 這些操作比之前的求逆更上了一層臺階，應用同樣很廣。

多項式ln

• 給出一個次數界爲 $n$ 的多項式 $F(x)$ ，要求多項式 $G(x)$ 滿足：$G(x)\equiv ln\ F(x)\ (mod\ x^n)$

• 我們對其兩邊求導（右邊相當於是複合函數求導）：$G'(x)=\frac{F'(x)}{F(x)}$

• 再兩邊積分，即：$G(x)=\int\frac{F'(x)}{F(x)}\ dx$

• 於是應用一下多項式求逆即可在 $O(n\ log\ n)$ 的時間內求出一個多項式的 ln 了。

• 其中求導和積分都是 $O(n)$ ，具體來說就是：$(x^a)'=ax^{a-1}$$\int{x^a}\ dx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}$

• 逐項操作即可求導、積分。

多項式exp

• 給出一個次數界爲 $n$ 的多項式 $F(x)$ ，要求多項式 $G(x)$ 滿足：$G(x)\equiv e^{F(x)}\ (mod\ x^n)$

• 這個需要用到 牛頓迭代法——一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法。

• 牛頓迭代法的一般式如下（要求的根爲 $x$）：$x'=x-\frac{f(x)}{f'(x)}$

• 於是我們先將定義式移項：$G(x)-e^{F(x)}=0$

• 兩邊取對數：$ln\ G(x)-F(x)=0$

• 把 $G(x)$ 當做要求的方程的根，則根據牛頓迭代法可得：$G_{t+1}(x)=G_t(x)-\frac{ln\ G_t(x)-F(x)}{\frac{1}{G_t(x)}}=G_t(x)(1+F(x)-ln\ G_t(x))$

• 這樣每次迭代都使精度（次數界）翻倍，遞歸處理即可，每次遞歸過程中要進行一次多項式求ln 。

• 這樣的時間複雜度是 $T(n)=T(\frac{n}{2})+O(n\ log\ n)=O(n\ log\ n)$ 的，不過常數較大。

多項式快速冪

• 給出一個次數界爲 $n$ 的多項式 $F(x)$ ，要求多項式 $G(x)$ 滿足：$G(x)\equiv F(x)^k\ (mod\ x^n)$

• 如果像普通一樣每次直接 NTT 的話，複雜度會很不理想，特別是當 $k$ 大到一定程度的時候。

• 我們可以兩邊取對數，則有：$ln\ G(x)=ln\ F(x)^k=k\ ln\ F(x)$

• 右邊多項式係數直接乘 $k$ ，再兩邊exp還原即可。

• 這樣做的話 $k$ 的值可以很大，我們只需要知道它模意義下的值即可。

• 這樣多項式快速冪需要用到求ln、exp，但複雜度仍是 $O(n\ log\ n)$ 的。

• 附模板題和我的代碼： 洛谷 P5245 【模板】多項式快速冪

• 值得注意的是這裏的 $k$ 達到了 $10^{10^5}$ 數量級，我們用高精度除單精度求其模意義下的值即可。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e5+5,L=N<<2,G=3,mo=998244353;
int a[L],b[L],c[L];
int f[L],rev[L],wn[L],inv[L];
char s[N];
inline int read()
{
    int X=0,w=0; char ch=0;
    while(!isdigit(ch)) w|=ch=='-',ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
inline int ksm(int x,int y)
{
    int s=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) s=(LL)s*x%mo;
        x=(LL)x*x%mo;
        y>>=1;
    }
    return s;
}
inline void NTT(int *y,int len,int ff)
{
    for(int i=0;i<len;i++)
        if(i<rev[i]) swap(y[i],y[rev[i]]);
    for(int h=2,d=len>>1;h<=len;h<<=1,d>>=1)
        for(int i=0,k=h>>1;i<len;i+=h)
            for(int j=0,cnt=0;j<k;j++,cnt+=d)
            {
                int u=y[i+j],t=(LL)y[i+j+k]*wn[cnt]%mo;
                y[i+j]=u+t>=mo?u+t-mo:u+t;
                y[i+j+k]=u-t<0?u-t+mo:u-t;
            }
    if(ff==-1)
    {
        reverse(y+1,y+len);
        int invl=inv[len];
        for(int i=0;i<len;i++) y[i]=(LL)y[i]*invl%mo;
    }
}
void getinv(int len,int num)
{
    if(len==1)
    {
        b[0]=ksm(c[0],mo-2);
        return;
    }
    getinv(len>>1,num-1);
    for(int i=0;i<len>>1;i++) f[i]=c[i];
    for(int i=len>>1;i<len;i++) f[i]=0;
    for(int i=0;i<len;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<num-1;
    int w0=ksm(G,(mo-1)/len);
    for(int i=wn[0]=1;i<=len;i++) wn[i]=(LL)wn[i-1]*w0%mo;
    NTT(f,len,1),NTT(b,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) b[i]=(2-(LL)b[i]*f[i]%mo+mo)*b[i]%mo;
    NTT(b,len,-1);
    for(int i=len>>1;i<len;i++) b[i]=0;
}
inline void getln(int len,int num)
{
    getinv(len,num);
    for(int i=0;i<len-1;i++) f[i]=(LL)c[i+1]*(i+1)%mo;
    f[len-1]=0;
    for(int i=len>>1;i<len;i++) f[i]=b[i]=0;
    NTT(f,len,1),NTT(b,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) f[i]=(LL)f[i]*b[i]%mo;
    NTT(f,len,-1);
    for(int i=len-1;i>0;i--) f[i]=(LL)f[i-1]*inv[i]%mo;
    f[0]=0;
}
void getexp(int len,int num)
{
    if(len==1)
    {
        c[0]=1;
        return;
    }
    getexp(len>>1,num-1);
    for(int i=0;i<len;i++) f[i]=b[i]=0;
    getln(len,num);
    f[0]=(a[0]+1-f[0]+mo)%mo;
    for(int i=1;i<len>>1;i++) f[i]=(a[i]-f[i]+mo)%mo;
    for(int i=len>>1;i<len;i++) f[i]=0;
    NTT(c,len,1),NTT(f,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) c[i]=(LL)c[i]*f[i]%mo;
    NTT(c,len,-1);
    for(int i=len>>1;i<len;i++) c[i]=0;
}
int main()
{
    int n=read(),k=0;
    scanf("%s",s+1);
    int m=strlen(s+1);
    for(int i=1;i<=m;i++) k=((LL)k*10+s[i]-'0')%mo;
    for(int i=0;i<n;i++) c[i]=read();
    inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=2;i<L;i++) inv[i]=(LL)(mo-mo/i)*inv[mo%i]%mo;
    int len=1,num=0;
    while(len<n<<1) len<<=1,num++;
    getln(len,num);
    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=(LL)f[i]*k%mo;
    for(int i=0;i<len;i++) f[i]=b[i]=c[i]=0;
    getexp(len,num);
    for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",c[i]);
    return 0;
}