1. 概述
在訓練數據不夠多時，或者overtraining時，常常會導致overfitting（過擬合）。其直觀的表現如下圖所示，隨着訓練過程的進行，模型複雜度增加，在training data上的error漸漸減小，但是在驗證集上的error卻反而漸漸增大——因爲訓練出來的網絡過擬合了訓練集，對訓練集外的數據卻不工作。
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爲了防止overfitting，可以用的方法有很多，下文就將以此展開。有一個概念需要先說明，在機器學習算法中，我們常常將原始數據集分爲三部分：
- training data
- validation data
- testing data
這個validation data是什麼？它其實就是用來避免過擬合的，在訓練過程中，我們通常用它來確定一些超參數（比如根據validation data上的accuracy來確定early stopping的epoch大小、根據validation data確定learning rate等等）。那爲啥不直接在testing data上做這些呢？因爲如果在testing data做這些，那麼隨着訓練的進行，我們的網絡實際上就是在一點一點地overfitting我們的testing data，導致最後得到的testing accuracy沒有任何參考意義。因此，training data的作用是計算梯度更新權重，validation data如上所述，testing data則給出一個accuracy以判斷網絡的好壞。
避免過擬合的方法有很多：
- early stopping
- 數據集擴增（Data augmentation）
- 正則化（Regularization）包括L1、L2（L2 regularization也叫weight decay）
- dropout。
2. L2範數（L2-normal）
L2正則化就是在代價函數後面再加上一個正則化項：
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C0代表原始的代價函數，後面那一項就是L2正則化項，它是這樣來的：所有參數w的平方的和，除以訓練集的樣本大小n。λ就是正則項係數，權衡正則項與C0項的比重。另外還有一個係數1/2，1/2經常會看到，主要是爲了後面求導的結果方便，後面那一項求導會產生一個2，與1/2相乘剛好湊整。
L2正則化項是怎麼避免overfitting的呢？我們推導一下看看，先求導：
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可以發現L2正則化項對b的更新沒有影響，但是對於w的更新有影響:
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在不使用L2正則化時，求導結果中w前係數爲1，現在w前面係數爲 1−ηλ/n ，因爲η、λ、n都是正的，所以 1−ηλ/n小於1，它的效果是減小w，這也就是權重衰減（weight decay）的由來。當然考慮到後面的導數項，w最終的值可能增大也可能減小。
另外，需要提一下，對於基於mini-batch的隨機梯度下降，w和b更新的公式跟上面給出的有點不同：
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對比上面w的更新公式，可以發現後面那一項變了，變成所有導數加和，乘以η再除以m，m是一個mini-batch中樣本的個數。
到目前爲止，我們只是解釋了L2正則化項有讓w“變小”的效果，但是還沒解釋爲什麼w“變小”可以防止overfitting？一個所謂“顯而易見”的解釋就是：更小的權值w，從某種意義上說，表示網絡的複雜度更低，對數據的擬合剛剛好（這個法則也叫做奧卡姆剃刀），而在實際應用中，也驗證了這一點，L2正則化的效果往往好於未經正則化的效果。
過擬合的時候，擬合函數的係數往往非常大，爲什麼？如下圖所示，過擬合，就是擬合函數需要顧忌每一個點，最終形成的擬合函數波動很大。在某些很小的區間裏，函數值的變化很劇烈。這就意味着函數在某些小區間裏的導數值（絕對值）非常大，由於自變量值可大可小，所以只有係數足夠大，才能保證導數值很大。
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而正則化是通過約束參數的範數使其不要太大，所以可以在一定程度上減少過擬合情況。