網絡流略解 網絡流 24 題索引

網絡流

網絡流 (network-flows) 是一種類比水流的解決問題方法，與線性規劃密切相關。圖論中的一種理論與方法，研究網絡上的一類最優化問題。
網絡流的圖可以抽象成以下模型。

對於一張邊權圖，每條邊的權值指流量。流量 是指允許通過該邊的最大權，而可以有不限多的權同時停留在一點上。

特別地，一圖中存在兩特殊點：源點和匯點。
源點 指初狀態擁有無窮多權的點。一般題目不提供這個點（告訴你就等於告訴你是網絡流了），它是一個虛點。
匯點 指出度爲 $0$ 的、用於記錄答案的虛點。
如上圖所示，$ST$ 是源點，$ED$ 是匯點。

求從源點通過邊走到匯點的權的最大值。這就是 最大流 問題。你可以把它想象成：有一些水管，它們有一定的耐久度，流過一定量的水後就會斷裂失效。從一個有無窮多水的點開始流，最多有多少水流到匯點。

使用 Dinic 算法求最大流步驟如下。

1. 把源點視爲第一層，嘗試遍歷所有點並求出深度；
2. 嘗試 從淺到深 的順序 從源點開始 流；
3. 重複 1. 2. 操作。若無法搜到匯點，結束算法。

例題

求下圖的最大流。
其中 $\inf$ 表示無窮大。

我們首先從 $ST$ 分別流 $\inf$ 到 $1,2,3$。嘗試 $1\to5,6;\ 5,6\to ED$，對答案貢獻爲 $2$；$2\to5,t\to ED,ans+5$；$3\to4,4\to ED,ans+1$。
所以最大流爲 $2+5+1=8$。

當題目描述與“流水”無關時，嘗試將題目轉換成流水模型。

網絡流 24 題索引

序號	題目	題解
1	P2756 飛行員配對方案問題	已解決
2	P2761 軟件補丁問題	未解決