基礎算法六：求平方根的問題

求解，也是面試中經常問的一個問題。該問題有兩種解法：二分法和牛頓法。

首先說二分法，首先給定個初始區間範圍[0，n]，因爲一定是在這個範圍內，然後比較這個區間的中值的平方和n，如果小於n，將範圍縮小爲[m,n]，如果大於n，將範圍縮小爲[0，​​​​​​​]。然後重複這個步驟，直到誤差小於設定的閾值。

代碼如下：

def binary_search(n, e=1e-5):
    '''
    二分法計算平方根
    '''
    max = n
    min = 0.
    mid = (max + min) / 2.
    while abs(mid * mid - n) > e:
        if mid * mid > n:
            max = mid
        elif mid * mid < n:
            min = mid
        else:
            return mid
        mid = (max + min) / 2.
    return mid

然後是牛頓法，牛頓法是一種求函數的0點的方法，對於我們這個問題，如果我們要求的值爲，那麼，於是就轉化成了求的0點。牛頓法的做法是給定的初始值，對求導求出在處的切線，該切線和y軸交點處爲，將更新爲，重複剛纔的過程，使不斷逼近的點。

如下圖所示：

的更新公式推導過程爲：

在處的切線方程爲：

則

於是

代碼如下：

def newton_search(n, e=1e-5):
    '''
    牛頓法計算平方根
    '''
    x = n
    while abs(x * x - n) > e:
        x = (x + n / x) / 2.
    return x

運行結果如下所示：

if __name__ == '__main__':
    print(binary_search(2))
    print(newton_search(2))


1.414215087890625
1.4142156862745097