康託展開了解一下

康託展開了解一下—NPC

首先，度娘鎮樓：康託展開是一個全排列到一個自然數的雙射，常用於構建哈希表時的空間壓縮。 康託展開的實質是計算當前排列在所有由小到大全排列中的順序，因此是可逆的。

注：雙射=》既滿足單射（一個變量對應一個函數值）又滿足滿射（對於所有函數值都有一個以上變量與之對應）

公式如下：

 

其中,ai爲整數,並且。表示的是位於位置i後面的數小於的個數（未出現的數）

舉例：

n = 5  對於45321這個排列數中，有4的後面比4小的數有3、2、1，共3個，5後有3、2、1，3後2、1，2後1，1後面就沒有了。

因此有：3*4!+3*3!+2*2!+1*1!+0*0! = 95

所以比45321小的排列有95個，即45321爲第96個排列；

康託展開的逆運算

既然康託展開是一個雙射，那麼一定可以通過康託展開值求出原排列，即可以求出n的全排列中第x大排列。

       對於n = 5給出61可以算出起排列組合爲34152。具體過程如下：

用 61 / 4! = 2餘13，說明a5=2,說明比首位小的數有2個，所以首位爲3。

用 13 / 3! = 2餘1，說明a4=2，說明在第二位之後小於第二位的數有2個，則第二位爲4。

用 1 / 2! = 0餘1，說明a3=0，說明在第三位之後沒有小於第三位的數，則第三位爲1。

用 1 / 1! = 1餘0，說明a2=1，說明在第二位之後小於第四位的數有1個，則第四位爲5。

最後一位自然就是剩下的數2。

通過以上分析，所求排列組合爲 34152

 

所以康託展開在OI中什麼鬼用法？

一個排列對應一個值且值是連續的自然數 當然壓空間啊 例題：八數碼，魔板

板子代碼：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 int shu[10];//記錄數字排列
 6 bool vis[10];//標記是否出現過
 7 int jc[10]= {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320};//預處理階乘值
 8 int KT(int *a,int n){
 9     int num = 0;
10     for(int i = 1;i <= n;i++){
11         int cnt = 0;
12         for(int j = i+1;j <= n;j++){//統計有多少比第i位小的數
13             if(shu[i] > shu[j]) cnt++;
14         }
15         num += cnt*jc[n-i];
16     }
17     return num;
18 }
19 void re_KT(int num,int len){
20     int i,j,t;
21     memset(vis,0,sizeof(vis));
22     --num;
23     for(i = 0;i < len;i++){
24         t = num/jc[len-i-1];
25         for(j = 1;j <= len;j++){
26             if(!vis[j]){
27                 if(t == 0) break;
28                 --t;
29             }
30         }
31         shu[i] = j;
32         vis[j] = true;
33         num %= jc[len-i-1];
34     }
35 }
36 int main()
37 {
38     int len;
39     scanf("%d",&len);
40     for(int i = 1;i<=len;i++){
41         scanf("%d",&shu[i]);
42     }
43     int KT_num = KT(shu,len);
44     printf("%d\n",KT_num);
45     re_KT(KT_num+1,len);//康託展開值表示比它的有多少個排列數
46     for(int i = 0;i<len;i++){
47         printf("%d ",shu[i]);
48     }
49     return 0;
50 }

1 5
2 1 4 3 2 5

1 14
2 1 4 3 2 5