一些数论题的板子

最近学习数论来着，然后就萌生了一个整理一个数论题板子集合的想法

不过，会推数学式子才是数论题的关键，数学才是数论题的基础与核心

GCD：
原理: (a,b) = (b,a%b)

Code:

int gcd(int a,int b)
{
    if(a % b == 0)
    return a;
    return gcd(b,a % b);
}

Exgcd:

目的是求: ax + by = gcd(a,b)的一组解(x,y)

同时返回的是d = gcd(a,b)

Code:

int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        int d = Exgcd(b,a%b,x,y);
        int t = x;
        x = y;
        y = t - (a / b) * y;
    }
}

 

Miller_Rabin

这个算法是主要用来判断某一个数是不是质数的算法

但是请注意这个算法具有随机性，而且是单点判断，不适用于区间的素数筛选

这个算法的证明(手写)：

 

Code:

int gg[8] = {2,3,5,7,13,29,37,89};
Miller_Rabin(int a,int n)
{
    int d = n - 1;
    int r = 0;
    while(d % 2 == 0)
    {
        d /= 2;
        r++;
    }
    int x = kuaisumi(a,d,n);
    if(x == 1)
    return true;
    for(int i=0;i<r;i++)
    {
        if(x == n - 1)
        return true;
        x = (long long)x * x % n;
    }
    return false;
}
bool is_prime(int n)
{
    if(n <= 1)
    return false;
    for(int a=0;a<8;a++)
    if(n == gg[a])
    return true;
    for(int a=0;a<8;a++)
    if(!Miller_Rabin(gg[a],n))
    return false;
    return true;
}

 

线性筛：

线性筛的算法有很多种，但是本文这里为了简便起见

只介绍欧拉筛了，同时因为欧拉筛可以预处理莫比乌斯函数和欧拉函数等数论函数

还可以得出每一个合数的最小非1因子

好处多多a

Code:

memset(not_prime,0,sizeof(not_prime));
for(int i=2;i<=n;i++)
{
    if(!not_prime[i])
    {
        prime[++prime_cnt] = i;
        phi[i] = i - 1;
        mu[i] = -1;
    }
    for(int j=1;j<=prime_cnt;j++)
    {
        int x = i * prime[j];
        if(x > n)
        break;
        not_prime[x] = true;
        phi[x] = phi[i] * phi[prime[j]];
        mu[x] = mu[i] * mu[prime[j]];
        if(i % prime[j] == 0)
        {
            phi[x] = phi[i] * prime[j];
            mu[x] = 0;
            break;
        }
    }
}

 

未完待续···