隨機變量及其分佈？

• 離散型隨機變量及其分佈

（0-1）分佈   

設隨機變量X只可能取0和1的兩個值，他的分佈律是,

則稱 X 服從以p爲參數的（0-1）分佈或者兩點分佈。

分佈律：

X	0	1
Pk	1-p	p

伯努利（Bernoulli）實驗、二項分佈

設實驗 E 只有兩個可能結果：A和，則稱 E 爲伯努利實驗。

設P(A) = p (0<p<1)，此時P() = 1 - p，將 E 獨立重複地進行 n 次，則稱這一串重複的獨立實驗爲 n 重伯努利實驗。

這裏“重複”是指在每次實驗中 P(A)  = p 保持不變：“獨立”是指各次實驗的結果互不影響，即若以  記第 i 次實驗的結果， 爲 A 或  ，i = 1,2，·····，n。“獨立”是指

分佈律：假設在前 k 次實驗中 A 發生，而後 n-k 次實驗中 A 不發生的概率爲 ，這種指定的方式共用 種。故在 n 次實驗中 A 發生 k 次的概率爲，記 q = 1-p，即有

 ，看= 0， 1， 2，····，n；

顯然

由於 剛好是二項式  的展開式中出現  的那一項。我們也稱隨機變量 X 服從參數爲 n, p 的二項分佈。

特別的：當 n=1 時，二項分佈式化爲 , k = 0, 1。

泊松分佈（描述某段時間內，事件具體的發生概率）

在實際應用過程中，很多時間具有固定的頻率。

• 某醫院平均每小時出生3個嬰兒

• 某一地區一個時間間隔內發生交通事故的次數

• 某公司平均每10分鐘接到1個電話

• 某超市平均每天銷售4包xx牌奶粉

• 某網站平均每分鐘有2次訪問

    上面這些事件的特點是，我們可以預估事件發生的總數，但是沒法知道具體的發生時間。已知每年發生的交通事故，那麼下一年會發生多少起呢？這個沒法知道。

 

• 連續性變量分佈

均勻分佈

 

 

指數分佈 

指數分佈是事件的時間間隔的概率。下面這些都屬於指數分佈。

• 嬰兒出生的時間間隔

• 來電的時間間隔

• 奶粉銷售的時間間隔

• 網站訪問的時間間隔

指數分佈的公式可以從泊松分佈推斷出來。如果下一個嬰兒間隔時間 t ，就等同於 t 之內沒有任何嬰兒出生。

反過來，事件在時間 t 之內發生的概率（至少出生一個的概率），就是1減去上面的值。

接下來15分鐘，會有嬰兒出生的概率是52.76%。

接下來的15分鐘到30分鐘，會有嬰兒出生的概率是24.92%。

指數分佈的圖形大概是下面的樣子。

可以看到，隨着間隔時間變長，事件的發生概率急劇下降，呈指數式衰減。想一想，如果每小時平均出生3個嬰兒，上面已經算過了，下一個嬰兒間隔2小時纔出生的概率是0.25%，那麼間隔3小時、間隔4小時的概率，是不是更接近於0？

 

指數分佈的概率密度爲：

 

式中：x是給定的時間；λ爲單位時間事件發生的次數；e＝2.71828。

 

指數分佈概率密度曲線如下圖：

 

 

指數分佈具有以下特徵：

（1）隨機變量X的取值範圍是從0到無窮；

（2）極大值在x＝0處，即f(x)＝λ；

（3）函數爲右偏，且隨着x的增大，曲線穩步遞減；

（4）隨機變量的期望值和方差爲µ＝1/λ，σ2＝1/λ2。

 

 

通過對概率密度函數的積分，就可以得到相應的概率，其表達式有兩種

P(X≥x)＝e-λx

P(X≤x)＝1－e-λx

 

例：某電視機生產廠生產的電視機平均10年出現大的故障，且故障發生的次數服從泊松分佈。

問（1）該電視機使用15年後還沒有出現大故障的比例；（2）如果廠家想提供大故障免費維修的質量擔保，但不能超過全部產量的20%，試確定提供擔保的年數。

 

解：

（1）設X爲電視機出現大故障的時間。已知µ＝10年，則λ＝1/µ＝0.1，於是，P(X≥x)＝e-λx＝e-0.1*15≈0.223。則15年後，沒有出現大故障的電視機約佔22.3%。

（2）問題要求比例不超過20%，這是求X的右側概率面積，現在根據公式確定適當的X值。

 

電視機各年累計出現的故障比例
擔保年數X	累計概率P(X≤x)＝1－e-λx
1	0.095
2	0.181
3	0.259

從表中可以看到：擔保2年時，出現大故障的比例是18.1%，不超過20%。擔保3年時，出現大故障的比例爲25.9%，已經超過20%。所以，廠家應以2年爲擔保期。

 

高斯分佈，正態分佈

透徹理解高斯分佈

• 參考文獻 

1. 泊松分佈 & 指數分佈