小A的彩票 動態規劃

來源：小白月賽13：小A的彩票

題目描述：

小A最近開始沉迷買彩票，並且希望能夠通過買彩票發家致富。已知購買一張彩票需要3元，而彩票中獎的金額分別爲1,2,3,4元，並且比較獨特的是這個彩票中獎的各種金額都是等可能的。現在小A連續購買了n張彩票，他希望你能夠告訴他至少能夠不虧本的概率是多少。

輸入描述:

一行一個整數N，爲小A購買的彩票數量。

輸出描述：

輸出一個最簡分數a/b，表示小A不虧本的概率。若概率爲1，則輸出1/1，概率爲0，則輸出0/1。

用dp[i][j]表示買第i張彩票，中j元的方案數。那麼
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j-2]+dp[i-1][j-3]+dp[i-1][j-4]
邊界條件：
dp[1][1]=1;
dp[1][2]=1;
dp[1][3]=1;
dp[1][4]=1;
很明顯，如果不買，保證不虧。
買了，肯定有可能虧。
因爲只要買了，就有可能全中1元，虧了，也有可能全中4元，穩賺。
所以，只有n==0時，概率爲1/1，概率爲0/1的情況不存在。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 31;
#define ll long long int
ll dp[maxn][maxn*4];
ll power(ll a,ll b ) 
{
    ll r = 1;
    ll base = a;
    while(b != 0 ) 
    {
        if(b & 1)
        {
            r *= base;
        }
        base *= base;
        b/=2;
	}
	return r;
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
	if(b==0)
	{
		return a;
	}
	return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    int n; 
    while(cin>>n)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[1][1]=1;
        dp[1][2]=1;
        dp[1][3]=1;
        dp[1][4]=1;
        for(int i=2;i<=n;++i)
        {
            for(int j=1;j<=n*4;++j)
            {
                for(int k=1;k<=4;++k)
                {
                	if(j-k<=0) continue;
                    dp[i][j]+=dp[i-1][j-k];
                }
            }
        }
//		print dp        
//        for(int i=1;i<=n;++i)
//        {
//        	for(int j=1;j<=n*4;++j)
//        	{
//        		cout<<dp[i][j]<<" ";
//			}
//			cout<<endl;
//		}
//		
        ll ans = 0;
        for(int i=1;i<=n*4;++i)
        {
            if(i>=n*3)
            {
                ans+=dp[n][i];
            }
        }
        ll a=ans;
		ll b=power(4,n);
        ll c=gcd(a,b);
        if(n==0)
        {
        	cout<<"1/1"<<endl;
		}else{
        	cout<<a/c<<"/"<<b/c<<endl;			
		}
    }
    return 0;
}