hihoCoder #1954 : 壓縮樹(虛樹)

題意

有一棵 \(n\) 個節點且以 \(1\) 爲根的樹，把它複製成 \(m\) 個版本，有 \(q\) 次操作，每次對 \([l, r]\) 這些版本的 \(v\) 節點到根的路徑收縮起來。

收縮 \(v\) 也就是把 \(v\) 到根路徑上（除了根）所有點的父親都變成根。

最後查詢每個版本的每個點的 \(dep\) 之和。

數據範圍

\(n, m, q \le 2 \times 10^5\)

題解

操作順序是無所謂的，我們假設操作了點集 \(S\) ，那麼最後被縮上去的點其實就是 \(\{S, root\}\) 構成虛樹經過的節點。

每個點的深度其實它原來的深度減去它到根（除了根與根的兒子）被縮的點的個數。

考慮祖先對它的貢獻是比較麻煩的，我們不妨考慮它對於祖先的貢獻，其實就是每個深度 \(\ge 2\) 的節點的子樹 \(size\) 之和。

那麼我們把操作離線，只需要動態維護虛樹經過所有點的權值和。

這其實是一個經典的動態虛樹的問題，按照 \(dfs\) 序，用 std :: set 維護當前的點集，假設插入點爲 \(k\) 找到它的前驅 \(l\) 與後繼 \(r\) ，令 \(\mathrm{LCA}(l, k), \mathrm{LCA}(r, k)\) 深度較大點爲 \(f\) ，那麼這次新產生的路徑是 \((k, f)\) 的路徑（注意 \(f\) 原來就是存在於虛樹中的，需要去掉），刪除是類似的。

注意可能一個點被縮多次，我們需要利用 std :: multiset ，然後每次插入刪除的時候查找是否還存在即可。

複雜度是 \(\mathcal O((n + q) \log n + m)\) 的。

代碼

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for (register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for (register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Rep(i, r) for (register int i = (0), i##end = (int)(r); i < i##end; ++i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return b > a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read() {
    int x(0), sgn(1); char ch(getchar());
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') sgn = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
    return x * sgn;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
    freopen ("1954.in", "r", stdin);
    freopen ("1954.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 2e5 + 1e3;

vector<int> G[N];

ll ans = 0, sum[N];

int n, m, q, dep[N], anc[N][20], Log2[N], sz[N], dfn[N];

void Dfs_Init(int u, int fa = 0) {
    static int clk = 0; dfn[u] = ++ clk;
    dep[u] = dep[anc[u][0] = fa] + 1;
    ans += dep[u]; sz[u] = 1;
    for (int v : G[u]) if (v != fa) Dfs_Init(v, u), sz[u] += sz[v];
}

void Get_Sum(int u, int fa = 0) {
    sum[u] = sum[fa] + (dep[u] > 1) * sz[u];
    for (int v : G[u]) if (v != fa) Get_Sum(v, u);
}

struct Cmp {
    inline bool operator () (const int &lhs, const int &rhs) { return dfn[lhs] < dfn[rhs]; }
};

vector<int> add[N], del[N]; multiset<int, Cmp> S;

inline int Lca(int x, int y) {
    if (dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
    int gap = dep[x] - dep[y];
    For (i, 0, Log2[gap]) 
        if (gap >> i & 1) x = anc[x][i];
    if (x == y) return x;
    Fordown (i, Log2[dep[x]], 0)
        if (anc[x][i] != anc[y][i]) x = anc[x][i], y = anc[y][i];
    return anc[x][0];
}

int Find(int x) {
    PII res; auto it = S.upper_bound(x);
    if (it != S.end()) {
        int tmp = Lca(*it, x); chkmax(res, {dep[tmp], tmp});
    }
    if (it != S.begin()) {
        int tmp = Lca(*prev(it), x); chkmax(res, {dep[tmp], tmp});
    }
    return res.second ? res.second : x;
}

int main () {

    File();

    n = read(); m = read(); q = read();
    For (i, 1, n - 1) {
        int u = read(), v = read();
        G[u].push_back(v); G[v].push_back(u);
    }

    while (q --) {
        int l = read(), r = read(), v = read();
        add[l].push_back(v); del[r + 1].push_back(v);
    }

    dep[0] = -1; Dfs_Init(1); Get_Sum(1);

    For (i, 2, n) Log2[i] = Log2[i >> 1] + 1;
    For (j, 1, Log2[n]) For (i, 1, n)
        anc[i][j] = anc[anc[i][j - 1]][j - 1];

    S.insert(1);
    For (i, 1, m) {
        for (int x : add[i]) {
            if (S.find(x) == S.end())
                ans -= sum[x] - sum[Find(x)];
            S.insert(x);
        }
        for (int x : del[i]) {
            S.erase(S.find(x));
            if (S.find(x) == S.end())
                ans += sum[x] - sum[Find(x)];
        }
        printf ("%lld%c", ans, i == iend ? '\n' : ' ');
    }

    return 0;

}