B-spline Curves Notes
本 教程是關於B-樣條曲線（B-spline Curves）的教程。B-樣條曲線在計算機視覺(computer vision )，計算機圖形學（Computer Graphics ），計算機輔助設計（Computer-Aided Design ），計算幾何（Computational Geometry ） ，可視化（Visualization）等許多領域有着廣泛應用。
本教程翻譯自C.-K. Shene博士的CS3621 Introduction to Computing with Geometry Notes的第6部分B-spline Curves。（C.-K. Shene博士是a Professor at Department of Computer Science ，Michigan Technological University）。
1. B樣條曲線——動機
考慮設計一個花瓶的剖面圖。下圖左邊是11次（degree）的貝塞爾曲線；但是它很難彎曲瓶頸到線段 P4P5。當然，我們可以在這個線段附近增加控制點來增加該區域的權重。但是這會增加曲線的次數（degree）。許多情況下，不值得使用如此高次 （degree）的多項式。
如前面討論過的貝塞爾曲線的導數 ，我們可以將兩個貝塞爾曲線連接起來。只要第一條曲線的最後一段和第二條曲線的第一段有相同方向，我們至少可以獲得 G1連續性，因爲切向量有相同方向但可能有不同的長度（即，如果長度相同，它就是C1 連續的）。上邊中間圖使用了這個思想。它有3個3次貝塞爾曲線段，連接點用黃色矩形框標記。這說明有滿足 G1 連續條件的多重低階貝塞爾曲線段，我們可以設計出複雜形狀。但是，保持 G1 連續條件會是乏味和不受歡迎的。
有沒有可能我們仍用更低階曲線段而不用考慮 G1 連續條件?
B-樣條曲線是貝塞爾曲線的推廣且正是爲了解決這個問題的。上邊右圖是一個8控制點的3次B-樣條曲線。實際上，由5條3次貝塞爾曲線段連接起來形成了由 控制點定義的B-樣條曲線。 上圖中，那些小點把B-樣條曲線劃分爲貝塞爾曲線段。可以像貝塞爾曲線那樣移動控制點來修改曲線的形狀。我們也可以修改曲線的細分 （subdivision）。因此B-樣條曲線有更高階曲線設計的自由度。
直接細分（Subdividing）曲線是很困難的。因此，我們細分曲線的定義域。因此，如果曲線的定義域是[0,1]，這個閉區間被稱爲節點（knots）的點細分而成。設這些節點是 0 <= u0 <= u1 <= ... <= um <= 1。那麼點C(ui)的曲線細分如下圖所示，因此，修改[0,1]的細分會改變曲線的形狀。
總之，爲了設計一個B-樣條曲線，我們需要一系列的控制點，一系列的節點和一系列的係數，每個係數對應一個控制點，所以所有曲線段連接在一起滿足某個連續 條件。係數的計算可能是最複雜的步驟因爲它們必須保證某個連續條件。幸運的是，這個計算在本課程中不需要。我們只需要知道相關特性用於B-樣條曲線的推理就可以了。