B-spline Curves: Computing the Coefficients
儘管de Boor算法是一個計算對應於給定u的B-樣條曲線上的點的標準方法， 我們許多情況下（例如，曲線插值和逼近）真正需要的是這些係數。我們將闡述一個簡單方法來做這個。
給定一個由 n+1個控制點P0, P1, ..., Pn, 和 m+1個節點 u0=u1=...=up=0, up+1, up+2, ..., um-p-1, um-p=um-p+1=...= um=1定義的p 次clamped B-樣條曲線。對於任何給定在[0,1]上的 u ，我們想計算係數N0,p(u),N1,p(u), ..., Nn,p(u) 。一個簡單方法是使用下列遞推關係：
但是這是一個非常耗時的過程。爲了計算 Ni,p(u), 我們需要計算 Ni,p-1(u)和Ni+1,p-1(u). 爲了計算Ni,p-1(u), 我們需要計算Ni,p-2(u) 和 Ni+1,p-2(u). 爲了計算Ni+1,p-1(u), 我們需要Ni+1,p-2(u)和 Ni+2,p-2(u). 如你們所看到的， Ni+1,p-2(u)出現了兩次，因此，遞歸計算會重複。當遞歸繼續深入，會出現更多的重複計算。這與在前頁討論的de Casteljau算法的遞歸版本很相似。因此，計算速度非常慢。
有容易的方法。設 u 在節點區間[uk,uk+1)上。. B-樣條基函數的重要性質 說明最多 p+1個p 次基函數在[uk,uk+1)上非零，即： Nk-p,p(u), Nk-p+1,p(u), Nk-p+2,p(u), ..., Nk-1,p(u), Nk,p(u)。通過定義，在[uk,uk+1)上的0次僅有的非零基函數是Nk,0(u)。結果，從.Nk,0(u)出發計算係數是以一個 "fan-out" 三角形式，如下圖所示：
因爲在 [uk,uk+1)上 Nk,0(u) = 1而其他0次B-樣條基函數在[uk,uk+1)上是零，我們可以從 Nk,0(u)開始而計算1次基函數 Nk-1,1(u) 和 Nk,1(u)。從這兩個值，我們可以計算2次基函數 Nk-2,2(u), Nk-1,2(u) 和Nk,2(u)。這個過程重複直到所有p+1 個非零係數計算出來。
在這個計算中， “內部”值如 Nk-1,2(u)有一個西北向前驅 (即， Nk-1,1(u))和一個西南向的前驅 (即，Nk,1(u))；上述三角如Nk-1,1(u)的東北方向邊界上的值只有一個西南向前驅 (即， Nk,0(u))；這個三角如Nk,2(u)的東南方向邊界上的值只有一個西北前驅 (即， Nk,1(u))。因此， 在東北 (resp., 東南)方向邊界上的值使用定義中的遞歸關係的第二 (resp., 第一)項 。只有內部值使用全部兩項。基於這個觀察，我們有下列算法：
上述算法不是很有效的算法。它的目的是爲了以一個直覺容易理解的方式說明思想。 數組N[ ] 保存所有中間值和最後結果。對一個次數 d, N[i] 保存了Ni,d(u)的值，且，最後，N[k-d], N[k-d+1], ..., N[k] 含有非零係數。計算以 d=1開始因爲我們知道僅有的非零基函數是 Nk,0(u)如果 u 在節點區間 [uk,uk+1)上。 外循環使得次數 d 從 1到 p。 begin 後面的第一次賦值是僅使用一項(即，三角中的西南項， Nk-d+1,d-1(u))，計算 Nk-d,d(u) ， 內部 for 循環計算 “內部”項，而外循環中最後一個語句僅使用一項(即，三角中的西北項， Nk,d-1(u)) 計算 Nk,d(u)。
你能使這個算法更有效嗎?
B-spline Curves: A Special Case
B-樣條曲線：特例
如果我們有 2n+2 個節點 u0 = u1 = ... = un = 0及 un+1 = un+2 = ... = u2n+1 = 1 (即，頭 n+1 個是零，而後 n+1是1)， n 次B-樣條基函數是什麼？
因爲每個 u 在 [0,1] = [un, un+1]上， n 次非零基函數是： N0,n(u), N1,n(u), ..., Nn,n(u)。回憶B-樣條基函數的定義如下：
因爲僅有的 0次非零基函數是Nn,0(u)，下標 i 只能在0 和n之間。因此， ui是零而 ui+n和ui+n+1是1。結果，上邊第二個等式可重寫爲如下式：
如果我們進行如前頁討論的那樣以一個三角形式計算N0,n(u), N1,n(u), ..., Nn,n(u) ，那麼我們有下圖。在該圖中，每個東北(resp., 東南)邊界箭頭意味這乘1-u (resp., u)到在箭頭尾部的項上。注意計算中有n 步驟，每步獲得每列。因此， Nn,0(u) 對 N0,n(u)的貢獻是 (1-u)n, 而Nn,0(u)的貢獻對Nn,n(u)是un.
現在，考慮一般項 Ni,n(u)的計算。 Nn,0(u) 對Ni,n(u)計算的貢獻可用"path-counting"技術確定，其用來展示de Casteljau算法的正確 以及貝塞爾曲線的更高次導數的計算中。每個從 Nn,0(u) 到 Ni,n(u) 遇n 箭頭其中i 是東南邊界 而 n-i 是東北邊界。 那些東北(resp., 東南)邊界箭頭意味着對尾部的項乘以1-u (resp., u)。因此，Nn,0(u) 對 Ni,n(u)的貢獻沿着一個單path是 ui(1-u)n-i 。從 Nn,0(u) 到 Ni,n(u)的paths總數是C(n,i)。更準確地，paths的數目等於放置 i 個東南邊界箭頭在n 個位置不同方法的數目。剩餘 n-i 位置用東北邊界箭頭充滿。這 n 個箭頭準確地描述了從 Nn,0(u) 到 Ni,n(u)的一個單路徑（path）。因爲每個路徑（path）貢獻 ui(1-u)n-i 給計算且因爲有C(n,i) 個路徑，Nn,0(u) 對 Ni,n(u)的總貢獻是
這就是 n次第i個貝塞爾基函數。因此，我們有下列結論：
