矩母函數 moment

矩生成函數

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動差又被稱爲矩。隨機變數X 的動差生成函數或矩母函數（moment-generating function）定義爲：

$M_{X}(t)=E\left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R}$

前提是這個期望值存在。

計算

如果X具有連續概率密度函數f(x)，則它的動差生成函數由下式給出：

$M_{X}(t)=\int _{{-\infty }}^{\infty }e^{{tx}}f(x)\,{\mathrm {d}}x$

$=\int _{{-\infty }}^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,{\mathrm {d}}x$

$=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots$

其中 $m_{i}$ 是第i個矩。 $M_{X}(-t)$ 是f(x)的雙邊拉普拉斯變換。

不管概率分佈是不是連續，動差生成函數都可以用黎曼-斯蒂爾吉斯積分給出：

$M_{X}(t)=\int _{{-\infty }}^{\infty }e^{{tx}}\,dF(x)$

如果X1、X2、……、Xn是一系列獨立的隨機變量，且

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}$

其中ai是常數，則Sn的概率密度函數是每一個Xi的概率密度函數的卷積，而Sn的動差生成函數則爲：

$M_{{S_{n}}}(t)=M_{{X_{1}}}(a_{1}t)M_{{X_{2}}}(a_{2}t)\cdots M_{{X_{n}}}(a_{n}t)$ 　。

對於分量爲實數的向量值隨機變量X，動差生成函數爲：

$M_{X}({\mathbf {t}})=\operatorname {E}\left(e^{{\langle {\mathbf {t}},{\mathbf {X}}\rangle }}\right)$

其中t是一個向量， $\langle {\mathbf {t}},{\mathbf {X}}\rangle$ 是數量積。

只要動差生成函數在t = 0周圍的開區間存在，第n個矩爲：

$\operatorname {E}\left(X^{n}\right)=M_{X}^{{(n)}}(0)=\left.{\frac {{\mathrm {d}}^{n}M_{X}(t)}{{\mathrm {d}}t^{n}}}\right|_{{t=0}}$ 　。

如果動差生成函數在這個區間內是有限的，則它唯一決定了一個概率分佈。

一些其它在概率論中常見的積分變換也與動差生成函數有關，包括特徵函數以及概率生成函數。

累積量生成函數是動差生成函數的對數。

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