在機器學習中的矩陣向量求導(三) 矩陣向量求導之微分法中，我們討論了使用微分法來求解矩陣向量求導的方法。但是很多時候，求導的自變量和因變量直接有複雜的多層鏈式求導的關係，此時微分法使用起來也有些麻煩。需要一些簡潔的方法。
本文我們討論矩陣向量求導鏈式法則，使用該法則很多時候可以幫我們快速求出導數結果。
本文的標量對向量的求導，標量對矩陣的求導使用分母佈局， 向量對向量的求導使用分子佈局。如果遇到其他資料求導結果不同，請先確認佈局是否一樣。
1. 向量對向量求導的鏈式法則
首先我們來看看向量對向量求導的鏈式法則。假設多個向量存在依賴關係，比如三個向量$\mathbf{x} \to \mathbf{y} \to \mathbf{z}$存在依賴關係，則我們有下面的鏈式求導法則：$$\frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{x}} = \frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{y}}\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}$$
該法則也可以推廣到更多的向量依賴關係。但是要注意的是要求所有有依賴關係的變量都是向量，如果有一個$\mathbf{Y}$是矩陣，，比如是$\mathbf{x} \to \mathbf{Y} \to \mathbf{z}$， 則上式並不成立。
從矩陣維度相容的角度也很容易理解上面的鏈式法則，假設$\mathbf{x} , \mathbf{y} ,\mathbf{z}$分別是$m,n.p$維向量，則求導結果$\frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{x}}$是一個$p \times m$的雅克比矩陣，而右邊$\frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{y}}$是一個$p \times n$的雅克比矩陣，$\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}$是一個$n \times m$的矩陣，兩個雅克比矩陣的乘積維度剛好是$p \times m$，和左邊相容。
2. 標量對多個向量的鏈式求導法則
在我們的機器學習算法中，最終要優化的一般是一個標量損失函數，因此最後求導的目標是標量，無法使用上一節的鏈式求導法則，比如2向量，最後到1標量的依賴關係：$\mathbf{x} \to \mathbf{y} \to z$，此時很容易發現維度不相容。
假設$\mathbf{x} , \mathbf{y} $分別是$m,n$維向量, 那麼$\frac{\partial z}{\partial \mathbf{x}}$的求導結果是一個$m \times 1$的向量, 而$\frac{\partial z}{\partial \mathbf{y}}$是一個$n \times 1$的向量，$\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}$是一個$n \times m$的雅克比矩陣,右邊的向量和矩陣是沒法直接乘的。
但是假如我們把標量求導的部分都做一個轉置，那麼維度就可以相容了，也就是：$$(\frac{\partial z}{\partial \mathbf{x}})^T = (\frac{\partial z}{\partial \mathbf{y}})^T\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} $$
但是畢竟我們要求導的是$(\frac{\partial z}{\partial \mathbf{x}})$,而不是它的轉置，因此兩邊轉置我們可以得到標量對多個向量求導的鏈式法則：$$\frac{\partial z}{\partial \mathbf{x}} = (\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} )^T\frac{\partial z}{\partial \mathbf{y}}$$
如果是標量對更多的向量求導,比如$\mathbf{y_1} \to \mathbf{y_2} \to ...\to \mathbf{y_n} \to z$，則其鏈式求導表達式可以表示爲：$$\frac{\partial z}{\partial \mathbf{y_1}} = (\frac{\partial \mathbf{y_n}}{\partial \mathbf{y_{n-1}}} \frac{\partial \mathbf{y_{n-1}}}{\partial \mathbf{y_{n-2}}} ...\frac{\partial \mathbf{y_2}}{\partial \mathbf{y_1}})^T\frac{\partial z}{\partial \mathbf{y_n}}$$
這裏我們給一個最常見的最小二乘法求導的例子。最小二乘法優化的目標是最小化如下損失函數:$$l=(X\theta - y)^T(X\theta - y)$$
我們優化的損失函數$l$是一個標量，而模型參數$\theta$是一個向量，期望L對$\theta$求導，並求出導數等於0時候的極值點。我們假設向量$z = X\theta - y$, 則$l=z^Tz$， $\theta \to z \to l$存在鏈式求導的關係，因此：$$\frac{\partial l}{\partial \mathbf{\theta}} = (\frac{\partial z}{\partial \theta} )^T\frac{\partial l}{\partial \mathbf{z}} = X^T(2z) =2X^T(X\theta - y)$$
其中最後一步轉換使用瞭如下求導公式：$$\frac{\partial X\theta - y}{\partial \theta} = X$$ $$\frac{\partial z^Tz}{\partial z} = 2z$$
這兩個式子我們在前幾篇裏已有求解過，現在可以直接拿來使用了，非常方便。
當然上面的問題使用微分法求導數也是非常簡單的，這裏只是給出鏈式求導法的思路。
3. 標量對多個矩陣的鏈式求導法則
下面我們再來看看標量對多個矩陣的鏈式求導法則，假設有這樣的依賴關係：$\mathbf{X} \to \mathbf{Y} \to z$,那麼我們有：$$\frac{\partial z}{\partial x_{ij}} = \sum\limits_{k,l}\frac{\partial z}{\partial Y_{kl}} \frac{\partial Y_{kl}}{\partial X_{ij}} =tr((\frac{\partial z}{\partial Y})^T\frac{\partial Y}{\partial X_{ij}})$$
這裏大家會發現我們沒有給出基於矩陣整體的鏈式求導法則，主要原因是矩陣對矩陣的求導是比較複雜的定義，我們目前也未涉及。因此只能給出對矩陣中一個標量的鏈式求導方法。這個方法並不實用，因爲我們並不想每次都基於定義法來求導最後再去排列求導結果。
雖然我們沒有全局的標量對矩陣的鏈式求導法則，但是對於一些線性關係的鏈式求導，我們還是可以得到一些有用的結論的。
我們來看這個常見問題：$A,X,B,Y$都是矩陣，$z$是標量，其中$z= f(Y), Y=AX+B$,我們要求出$\frac{\partial z}{\partial X}$,這個問題在機器學習中是很常見的。此時，我們並不能直接整體使用矩陣的鏈式求導法則，因爲矩陣對矩陣的求導結果不好處理。
這裏我們迴歸初心，使用定義法試一試,先使用上面的標量鏈式求導公式：$$\frac{\partial z}{\partial x_{ij}} = \sum\limits_{k,l}\frac{\partial z}{\partial Y_{kl}} \frac{\partial Y_{kl}}{\partial X_{ij}}$$
我們再來看看後半部分的導數：$$ \frac{\partial Y_{kl}}{\partial X_{ij}} = \frac{\partial \sum\limits_s(A_{ks}X_{sl})}{\partial X_{ij}} = \frac{\partial A_{ki}X_{il}}{\partial X_{ij}} =A_{ki}\delta_{lj}$$
其中$\delta_{lj}$在$l=j$時爲1，否則爲0.
那麼最終的標籤鏈式求導公式轉化爲：$$\frac{\partial z}{\partial x_{ij}} = \sum\limits_{k,l}\frac{\partial z}{\partial Y_{kl}} A_{ki}\delta_{lj} = \sum\limits_{k}\frac{\partial z}{\partial Y_{kj}} A_{ki}$$
即矩陣$A^T$的第i行和$\frac{\partial z}{\partial Y} $的第j列的內積。排列成矩陣即爲：$$\frac{\partial z}{\partial X} = A^T\frac{\partial z}{\partial Y}$$
總結下就是：$$z= f(Y), Y=AX+B \to \frac{\partial z}{\partial X} = A^T\frac{\partial z}{\partial Y}$$
這結論在$\mathbf{x}$是一個向量的時候也成立，即：$$z= f(\mathbf{y}), \mathbf{y}=A\mathbf{x}+\mathbf{b} \to \frac{\partial z}{\partial \mathbf{x}} = A^T\frac{\partial z}{\partial \mathbf{y}}$$
如果要求導的自變量在左邊，線性變換在右邊，也有類似稍有不同的結論如下，證明方法是類似的，這裏直接給出結論：$$z= f(Y), Y=XA+B \to \frac{\partial z}{\partial X} = \frac{\partial z}{\partial Y}A^T$$ $$z= f(\mathbf{y}), \mathbf{y}=X\mathbf{a}+\mathbf{b} \to \frac{\partial z}{\partial \mathbf{X}} = \frac{\partial z}{\partial \mathbf{y}}a^T$$
使用好上述四個結論，對於機器學習尤其是深度學習裏的求導問題可以非常快的解決,大家可以試一試。
4. 矩陣向量求導小結
矩陣向量求導在前面我們討論三種方法，定義法，微分法和鏈式求導法。在同等情況下，優先考慮鏈式求導法，尤其是第三節的四個結論。其次選擇微分法、在沒有好的求導方法的時候使用定義法是最後的保底方案。
基本上大家看了系列裏這四篇後對矩陣向量求導就已經很熟悉了，對於機器學習中出現的矩陣向量求導問題已足夠。這裏還沒有講到的是矩陣對矩陣的求導，還有矩陣對向量，向量對矩陣求導這三種形式，這個我們在系列的下一篇，也是最後一篇簡單討論一下，如果大家只是關注機器學習的優化問題，不涉及其他應用數學問題的，可以不關注。
（歡迎轉載，轉載請註明出處。歡迎溝通交流： [email protected]）