密碼學——ELGamal算法

密碼學——ELGamal算法

ElGamal公鑰密碼體制是1984年斯坦福大學的Tather ElGamal提出的一種基於離散對數問題困難性的公鑰體制。1985年，Tather ElGamal利用ElGamal公鑰密碼體制設計出ElGamal數字簽名方案，該數字簽名是經典數字簽名方案之一，具有高度的安全性與實用性。後來，ElGamal數字簽名體制的變體被使用於數字簽名標準DSS中。直到今天，很多新的數字簽名方案仍然屬於ElGamal數字簽名體制的變體或擴展。這個就是ElGamal加密算法。該算法安全性依賴於計算有限域上離散對數難題：求解離散對數(目前)是困難的,其逆運算指數運算簡單。

算法思路

假設有2個用戶Alice 和 Bob，Bob欲使用ElGamal加密算法向Alice發送信息。
對於Alice,首先要選擇一個素數q, α是素數q的本原根。
[本原根的概念對應模q乘法羣(需循環羣)中的生成元。]

• Alice產生一個XA, XA∈(1, q - 1)
• 計算YA = αXA mod q
• A的私鑰爲XA, 公鑰爲 {q, α, YA}

公鑰存在於某個可信公開中心目錄,任何用戶都可訪問
對於Bob, 首先去上述中心目錄訪問得Alice的公鑰 {q, α, YA}
然後將自己欲發送的明文M, (M ∈ [1, q - 1]）準備好。

• 選一個隨機整數k, k ∈ [1, q - 1]
• 計算可解密自己密文的祕鑰 PrivateK = （YA)k mod q (即αXA*k mod q)
• 將M加密成明文對(C1, C2) 其中C1 = αk mod q, C2 = PrivateK * M mod q
• 明文對發送給Alice

Alice收到明文對：

PrivateK = (C1)XA mod q(即αk*XA mod q)
M = C2 * PrivateK-1 mod q

算法大多就是一些乘法,求冪之類的運算。剩下個關鍵內容就是如何尋找素數p的本原根，或者說如何找有限域GF§中的生成元。
我們在羣這個概念裏討論。

p是素數，令Zp = {1, 2, 3, …, p - 1},因爲考慮乘法，去掉了0元素。
2個定理：

Euler定理：設P和a是互素的兩個整數，則有aφ§＝1 mod p
拉格朗日定理: 設 G 是有限羣， H 是 G 的子羣,|H| 整除 |G|

回顧這樣2個概念：設G是羣, a∈G, 使得等式ak = e成立的最小整數k稱爲元素a的階。而羣的階是指該羣中的元素個數。值得留意的是，以某個生成元去生成某個子羣，該子羣的階就是該元素的階(當然了）。
因Zp中所有元素與p互素,由歐拉定理，Zp中所有元素的階不超過p-1,(因爲羣的階φ§是p-1,而至少有aφ§＝1 mod p)。

對於Zp中的任一元素，以該元素爲生成元形成的一個循環羣，設爲S(羣S的階在數值上即該元素的階)，根據羣的封閉性可知S必然爲Zp的子羣，根據拉格朗日定理，可知Zp的元素的階必然是|Zp| (即p-1)的因子。

於是可以得到這樣一個結論：若有這樣一個元素a，其階爲Ka, Ka是p-1的平凡因子(即因子1 或者因子p-1), 那麼a或者是單位元，或者是生成元。 又知Zp的單位元是1，那麼根據單位元的唯一性，可知若a非1，則a必爲生成元。問題在於，p-1的因子可能很多，我們還不是得一個個去找到階是p-1的平凡因子的元素？

爲此，我們構造一種特殊的素數，使得p-1的因子數量很少。取p - 1 = 2 * Q ，其中p是素數，Q也是素數。 因爲Q是素數，因子僅1， Q。所以p - 1的因子只有 {1, 2, Q, p - 1}四個。

到此已經非常明朗，我們找到滿足上述條件的素數p，然後在Zp中尋找這樣一個元素a，a的階非2，非Q，即a^2 mod p != 1 && a^Q mod p != 1，若a又非單位元1，那麼a必然是生成元。

留意Zp未必一定有生成元, 若1 到 (p - 1)經上述檢驗都不滿足, 考慮另取一個素數p。至於代碼實現上出現的問題：若mpz_probab_prime_p(tmp.mt, 6) == 1 改爲 mpz_probab_prime_p(tmp.mt, 6) == 2，p一旦較大，程序運行速度很慢。取2爲真素數檢驗，速度很慢，1爲概率素數檢驗，速度快。

算法實現

本人也在求學路上，能力有限，這裏借鑑一下大神們寫出的腳本：

#include<bits/stdc++.h>
#include<gmp.h>
#include<gmpxx.h>
using namespace std;

#define mt get_mpz_t()
typedef mpz_class bn;

gmp_randstate_t rstate;

struct public_keys {
    // Big prime p, primitive root, Y = XA^(primitive root)
    bn p, pr, Y; 
    public_keys(bn _p = 0, bn _pr = 0, bn _Y = 0) : p(_p), pr(_pr), Y(_Y) {}
};

// Trusted third party  一個所有用戶可訪問的公開中心目錄
map<string, public_keys> ttp;    

// 返回start 到 end的一個隨機數
inline bn randNum(bn start, bn end) {
    bn tmp;
    mpz_urandomm(tmp.mt, rstate, bn(end + 1 - start).mt);
    return tmp + start;
}
// 返回 a^b mod n
inline bn aebmodn(bn a, bn b, bn n) {
    bn ret;
    mpz_powm(ret.mt, a.mt, b.mt, n.mt);
    return ret;
}
// 在2^bits範圍內生成一副公鑰，存於公開目錄中，記在name名下 返回私鑰
bn elgmal_keyGen(string name, unsigned long int bits) {
    bn p = 2, pr = -1, Y = -1, bounds = 2;
    mpz_pow_ui(bounds.mt, bounds.mt, bits);

    bool found = 0;
    while(1) {
        mpz_urandomm(p.mt, rstate, bounds.mt);
        mpz_nextprime(p.mt, p.mt);
        bn tmp = (p - 1) / 2;

        if (p < bounds && mpz_probab_prime_p(tmp.mt, 6) == 1) {
            // pr是1到p-1的一個數
            pr = randNum(1, p - 1);
            while (1) {
                // pr^tmp % p
                bn pexpn = aebmodn(pr, tmp, p);
                if (pr != 1 && (pr * pr) % p != 1 && pexpn != 1) {
                    found = 1;
                    break;
                }
                pr = (pr + 1) % p;
            }
        }
        if (found) break;
    }

    bn XA = randNum(2, p - 2);
    Y = aebmodn(pr, XA, p);
    ttp[name] = public_keys(p, pr, Y);
    return XA;
}

// 密文對(C1, C2)
struct cipher_text {
    bn c1, c2;
    cipher_text(bn _c1 = 0, bn _c2 = 0) : c1(_c1), c2(_c2) {}
};

/*
 * 根據公開中心目錄中name名下的公鑰 對明文m進行加密
 * 返回密文對(C1, C2)
 */
cipher_text elgamal_encrypt(string name, bn m) {
    public_keys pk = ttp[name];
    bn k = randNum(1, pk.p - 1);
    bn privateKey;
    mpz_powm(privateKey.mt, pk.Y.mt, k.mt, pk.p.mt);
    bn cipher1 = aebmodn(pk.pr, k, pk.p);
    bn cipher2 = (m * privateKey) % pk.p;
    return cipher_text(cipher1, cipher2);
}

// 根據在自己name名下的公鑰及 自己的祕鑰dk 解密密文對ct 返回明文
bn elgamal_decrypt(string name, bn dk, cipher_text ct) {
    public_keys pk = ttp[name];
    bn privateKey = aebmodn(ct.c1, dk, pk.p);
    bn k_inverse;
    mpz_invert(k_inverse.mt, privateKey.mt, pk.p.mt);
    return (ct.c2 * k_inverse) % pk.p;
}

int main() {
    gmp_randinit_mt(rstate);
    gmp_randseed_ui(rstate, time(NULL));
    // Alice初始化自己在中心的公鑰並得到自己的私鑰
    bn dk = elgmal_keyGen("Alice", 128);
    cout<<"Input the message: ";
    bn n; cin>>n;
    if (n > ttp["Alice"].p) cout<<"message's length is out of bounds\n"; 
    // Bob根據Alice用戶信息對明文n加密
    cipher_text ct = elgamal_encrypt("Alice", n);
    // Alice進行解密
    bn res = elgamal_decrypt("Alice", dk, ct);
    cout<<"decrypt   result : " <<res <<"\n";
    return 0;
}