密码学——ELGamal算法

密码学——ELGamal算法

ElGamal公钥密码体制是1984年斯坦福大学的Tather ElGamal提出的一种基于离散对数问题困难性的公钥体制。1985年，Tather ElGamal利用ElGamal公钥密码体制设计出ElGamal数字签名方案，该数字签名是经典数字签名方案之一，具有高度的安全性与实用性。后来，ElGamal数字签名体制的变体被使用于数字签名标准DSS中。直到今天，很多新的数字签名方案仍然属于ElGamal数字签名体制的变体或扩展。这个就是ElGamal加密算法。该算法安全性依赖于计算有限域上离散对数难题：求解离散对数(目前)是困难的,其逆运算指数运算简单。

算法思路

假设有2个用户Alice 和 Bob，Bob欲使用ElGamal加密算法向Alice发送信息。
对于Alice,首先要选择一个素数q, α是素数q的本原根。
[本原根的概念对应模q乘法群(需循环群)中的生成元。]

• Alice产生一个XA, XA∈(1, q - 1)
• 计算YA = αXA mod q
• A的私钥为XA, 公钥为 {q, α, YA}

公钥存在于某个可信公开中心目录,任何用户都可访问
对于Bob, 首先去上述中心目录访问得Alice的公钥 {q, α, YA}
然后将自己欲发送的明文M, (M ∈ [1, q - 1]）准备好。

• 选一个随机整数k, k ∈ [1, q - 1]
• 计算可解密自己密文的秘钥 PrivateK = （YA)k mod q (即αXA*k mod q)
• 将M加密成明文对(C1, C2) 其中C1 = αk mod q, C2 = PrivateK * M mod q
• 明文对发送给Alice

Alice收到明文对：

PrivateK = (C1)XA mod q(即αk*XA mod q)
M = C2 * PrivateK-1 mod q

算法大多就是一些乘法,求幂之类的运算。剩下个关键内容就是如何寻找素数p的本原根，或者说如何找有限域GF§中的生成元。
我们在群这个概念里讨论。

p是素数，令Zp = {1, 2, 3, …, p - 1},因为考虑乘法，去掉了0元素。
2个定理：

Euler定理：设P和a是互素的两个整数，则有aφ§＝1 mod p
拉格朗日定理: 设 G 是有限群， H 是 G 的子群,|H| 整除 |G|

回顾这样2个概念：设G是群, a∈G, 使得等式ak = e成立的最小整数k称为元素a的阶。而群的阶是指该群中的元素个数。值得留意的是，以某个生成元去生成某个子群，该子群的阶就是该元素的阶(当然了）。
因Zp中所有元素与p互素,由欧拉定理，Zp中所有元素的阶不超过p-1,(因为群的阶φ§是p-1,而至少有aφ§＝1 mod p)。

对于Zp中的任一元素，以该元素为生成元形成的一个循环群，设为S(群S的阶在数值上即该元素的阶)，根据群的封闭性可知S必然为Zp的子群，根据拉格朗日定理，可知Zp的元素的阶必然是|Zp| (即p-1)的因子。

于是可以得到这样一个结论：若有这样一个元素a，其阶为Ka, Ka是p-1的平凡因子(即因子1 或者因子p-1), 那么a或者是单位元，或者是生成元。 又知Zp的单位元是1，那么根据单位元的唯一性，可知若a非1，则a必为生成元。问题在于，p-1的因子可能很多，我们还不是得一个个去找到阶是p-1的平凡因子的元素？

为此，我们构造一种特殊的素数，使得p-1的因子数量很少。取p - 1 = 2 * Q ，其中p是素数，Q也是素数。 因为Q是素数，因子仅1， Q。所以p - 1的因子只有 {1, 2, Q, p - 1}四个。

到此已经非常明朗，我们找到满足上述条件的素数p，然后在Zp中寻找这样一个元素a，a的阶非2，非Q，即a^2 mod p != 1 && a^Q mod p != 1，若a又非单位元1，那么a必然是生成元。

留意Zp未必一定有生成元, 若1 到 (p - 1)经上述检验都不满足, 考虑另取一个素数p。至于代码实现上出现的问题：若mpz_probab_prime_p(tmp.mt, 6) == 1 改为 mpz_probab_prime_p(tmp.mt, 6) == 2，p一旦较大，程序运行速度很慢。取2为真素数检验，速度很慢，1为概率素数检验，速度快。

算法实现

本人也在求学路上，能力有限，这里借鉴一下大神们写出的脚本：

#include<bits/stdc++.h>
#include<gmp.h>
#include<gmpxx.h>
using namespace std;

#define mt get_mpz_t()
typedef mpz_class bn;

gmp_randstate_t rstate;

struct public_keys {
    // Big prime p, primitive root, Y = XA^(primitive root)
    bn p, pr, Y; 
    public_keys(bn _p = 0, bn _pr = 0, bn _Y = 0) : p(_p), pr(_pr), Y(_Y) {}
};

// Trusted third party  一个所有用户可访问的公开中心目录
map<string, public_keys> ttp;    

// 返回start 到 end的一个随机数
inline bn randNum(bn start, bn end) {
    bn tmp;
    mpz_urandomm(tmp.mt, rstate, bn(end + 1 - start).mt);
    return tmp + start;
}
// 返回 a^b mod n
inline bn aebmodn(bn a, bn b, bn n) {
    bn ret;
    mpz_powm(ret.mt, a.mt, b.mt, n.mt);
    return ret;
}
// 在2^bits范围内生成一副公钥，存于公开目录中，记在name名下 返回私钥
bn elgmal_keyGen(string name, unsigned long int bits) {
    bn p = 2, pr = -1, Y = -1, bounds = 2;
    mpz_pow_ui(bounds.mt, bounds.mt, bits);

    bool found = 0;
    while(1) {
        mpz_urandomm(p.mt, rstate, bounds.mt);
        mpz_nextprime(p.mt, p.mt);
        bn tmp = (p - 1) / 2;

        if (p < bounds && mpz_probab_prime_p(tmp.mt, 6) == 1) {
            // pr是1到p-1的一个数
            pr = randNum(1, p - 1);
            while (1) {
                // pr^tmp % p
                bn pexpn = aebmodn(pr, tmp, p);
                if (pr != 1 && (pr * pr) % p != 1 && pexpn != 1) {
                    found = 1;
                    break;
                }
                pr = (pr + 1) % p;
            }
        }
        if (found) break;
    }

    bn XA = randNum(2, p - 2);
    Y = aebmodn(pr, XA, p);
    ttp[name] = public_keys(p, pr, Y);
    return XA;
}

// 密文对(C1, C2)
struct cipher_text {
    bn c1, c2;
    cipher_text(bn _c1 = 0, bn _c2 = 0) : c1(_c1), c2(_c2) {}
};

/*
 * 根据公开中心目录中name名下的公钥 对明文m进行加密
 * 返回密文对(C1, C2)
 */
cipher_text elgamal_encrypt(string name, bn m) {
    public_keys pk = ttp[name];
    bn k = randNum(1, pk.p - 1);
    bn privateKey;
    mpz_powm(privateKey.mt, pk.Y.mt, k.mt, pk.p.mt);
    bn cipher1 = aebmodn(pk.pr, k, pk.p);
    bn cipher2 = (m * privateKey) % pk.p;
    return cipher_text(cipher1, cipher2);
}

// 根据在自己name名下的公钥及 自己的秘钥dk 解密密文对ct 返回明文
bn elgamal_decrypt(string name, bn dk, cipher_text ct) {
    public_keys pk = ttp[name];
    bn privateKey = aebmodn(ct.c1, dk, pk.p);
    bn k_inverse;
    mpz_invert(k_inverse.mt, privateKey.mt, pk.p.mt);
    return (ct.c2 * k_inverse) % pk.p;
}

int main() {
    gmp_randinit_mt(rstate);
    gmp_randseed_ui(rstate, time(NULL));
    // Alice初始化自己在中心的公钥并得到自己的私钥
    bn dk = elgmal_keyGen("Alice", 128);
    cout<<"Input the message: ";
    bn n; cin>>n;
    if (n > ttp["Alice"].p) cout<<"message's length is out of bounds\n"; 
    // Bob根据Alice用户信息对明文n加密
    cipher_text ct = elgamal_encrypt("Alice", n);
    // Alice进行解密
    bn res = elgamal_decrypt("Alice", dk, ct);
    cout<<"decrypt   result : " <<res <<"\n";
    return 0;
}