樹狀數組—區間修改+單點查詢 詳解

看了很長時間大佬的博客，終於明白了區間修改和單點查詢的原理，因爲大佬們的思維比較強大，所以菜雞決定寫一篇較爲詳細的解釋。

 

首先引入差分數組d，設原數組爲a,令d[i]=a[i]-a[i-1].由此關係式得，也就是a[j]等於d[j]的前 j 項和，即前綴和。

於此，我們的樹狀數組維護的是 d 的前綴和。

 

1、單點查詢：

有以上推理得，查詢a[i]相當於查詢b[i]的前綴和，用樹狀數組操作即可。（注意：樹狀數組維護的是d數組，不是原數組！）

 

2、區間修改：

因爲對a的區間[i,j]加x，就相當於a[i]比a[i-1]大x，a[j+1]比a[j]小x，就相當於對a[i]加x，對a[j+1]減x。

因爲a[i]等於d[i]的前綴和，所以a[i]+x就相當於對d[i]的前綴和加x,可以用樹狀數組操作。

同理，a[j+1]-x等於b[j+1]的前綴和減x，用樹狀數組操作。

 

上一道經典例題：Color the ball   HDU - 1556  

 

N個氣球排成一排，從左到右依次編號爲1,2,3....N.每次給定2個整數a b(a <= b),lele便爲騎上他的“小飛鴿"牌電動車從氣球a開始到氣球b依次給每個氣球塗一次顏色。但是N次以後lele已經忘記了第I個氣球已經塗過幾次顏色了，你能幫他算出每個氣球被塗過幾次顏色嗎？

Input

每個測試實例第一行爲一個整數N,(N <= 100000).接下來的N行，每行包括2個整數a b(1 <= a <= b <= N)。 
當N = 0，輸入結束。

Output

每個測試實例輸出一行，包括N個整數，第I個數代表第I個氣球總共被塗色的次數。

Sample Input

3
1 1
2 2
3 3
3
1 1
1 2
1 3
0

Sample Output

1 1 1
3 2 1

 

 

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<deque>
#include<map>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long  LL;
const double pi=acos(-1.0);
const double e=exp(1);
const int N = 100010;

#define lson i << 1,l,m
#define rson i << 1 | 1,m + 1,r

int c[N];
int sum[N];
int ans[N];

int lowbit(int x)
{
    return x=x&(-x);
}

void update(int i,int v)
{
    while(i<=N)
    {
        c[i]+=v;
        i+=lowbit(i);
    }
}

int getsum(int i)
{
    int x=0;
    while(i>0)
    {
        x+=c[i];
        i-=lowbit(i);
    }
    return x;
}

int main()
{
    int i,p,j,n;
    int a,b;
    while(1)
    {
        scanf("%d",&n);
        if(n==0)
            break;
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        memset(c,0,sizeof(c));
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            update(a,1);
            update(b+1,-1);
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            if(i!=n)
                printf("%d ",getsum(i));
            else
                printf("%d\n",getsum(i));
        }
    }
    return 0;
}