UVALive 6176 Faulhaber's Triangle

題目鏈接 http://acm.sdibt.edu.cn/vjudge/ojFiles/uvalive/pdf/61/6177.pdf

題意是  給定一個數n，代表着一共有n個人，且他們的身高從1到n。 要求讓這n個人站成一行，使得身高的排列呈波浪形，比如低高低或者高低高。

 

注意：n = 1 ,  ans = 1;

 　　   n = 2 ,  ans = 2;

 

動態規劃。

 

解題思路： 每次新加入的點k，可以看成將之前的序列分成前後兩部分，並且因爲 k是最大的，所以要求k前面數的趨勢應該是高低，k後面的趨勢應該是底高。這樣加入k後的排列數，就是前後可行排列方法數的

乘積。 枚舉k插入的位置i，以及乘上c[k][i]，表示從k個數裏面取i個數的取法。

那麼怎麼計算前後可行排列的方法數呢？ 經過推導後，可以證明，前面和後面的方法數是相同的，所以假設用dp[n][0]表示前n個數中以高低爲結尾的方法數，dp[n][1]表示前n個數中以底高爲開始的方法數,ans[n]表示n個人的時候的方法數，可得 dp[n][0] = dp[n][1] = ans[n] / 2;

 

代碼：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<cstring>
 4 #include<string.h>
 5 #include<cmath>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<queue>
 8 #include<stack>
 9 #include<deque>
10 #include<map>
11 #include<iostream>
12 using namespace std;
13 typedef long long  LL;
14 const double pi=acos(-1.0);
15 const double e=exp(1);
16 const int N = 100009;
17 
18 LL a[25];
19 LL c[25][25];
20 LL sta[25][3],ans[25];
21 
22 void init_c()
23 {
24     LL i,p,j;
25     LL x = 1;
26     for(i = 1; i <= 20; i++)
27     {
28         x *= i;
29         a[i] = x;
30     }
31     a[0] = 1;
32 
33     for(i = 1; i <= 20; i++)
34     {
35         for(j = 0; j <= i; j++)
36         {
37             c[i][j] = a[i] / a[j] / a[i - j];
38         }
39     }
40 }
41 
42 
43 void init_tab()
44 {
45     LL i,p,j;
46 
47     sta[0][0] = sta[0][1] = 1;  //特判 k 插在第一位和最後一位的情況
48     ans[1] = 1;
49     sta[1][0] = sta[1][1] = 1;  //特判 n = 1時，既可以看成是開始爲底高的方法數也可以看成是高低的方法數。  
50 
51     for(i = 2; i <= 20; i++)
52     {
53         for(j = 0; j <= i - 1; j++)
54         {
55             ans[i] += sta[j][0] * sta[i - j - 1][1] * c[i - 1][j];
56         }
57         sta[i][0] = sta[i][1] = ans[i] / 2;
58     }
59 }
60 
61 int main()
62 {
63     LL i,p,j,n,t;
64     LL w;
65 
66     init_c();
67     init_tab();
68 
69     scanf("%lld",&t);
70     while(t--)
71     {
72         scanf("%lld%lld",&w,&n);
73         printf("%lld %lld\n",w,ans[n]);
74 
75     }
76     return 0;
77 }