基於PCA的線性監督分類的故障診斷方法-T2與SPE統計量的計算

基於PCA的線性監督分類的故障診斷方法

數據預處理

訓練集樣本（只有正樣本）爲 ${{\rm{X}}_{{\rm{n*m}}}}$ （需要列均值爲零，採用z-score歸一化即可），每行一個樣本，樣本數目n，特徵維度m。

計算m個特徵之間的協方差矩陣(也有文獻是除以n)：
${\sum _{{\rm{m*m}}}}{\rm{ = }}\frac{1}{{{\rm{n - 1}}}}{{\rm{X}}^{\rm{T}}}{\rm{X}}$
求協方差矩陣的特徵值$\lambda_i$與特徵向量$p_i$，並將特徵值按從小達到順序排列：
${\lambda _{\rm{1}}} \ge {\lambda _{\rm{2}}} \ge \cdots \ge {\lambda _k} \ge {\lambda _{k + 1}} \ge \cdots \ge {\lambda _m}$
將特徵向量按照對應的特徵值重新排列。假設排序後爲：
${{\rm{V}}_{{\rm{m*m}}}}{\rm{ = [}}{p_1},{p_2}, \cdots ,{p_m}{\rm{]}}$
按照某個原則（如特徵值累計和的佔比），選擇前k個特徵值進行PCA降維。令前k個從大到小的特徵值構成對角陣$S_{k*k}$，k個對應的特徵向量組成降維矩陣$P_{m*k}$。即：
${{\rm{S}}_{{\rm{k*k}}}}{\rm{ = diag(}}{\lambda _{\rm{1}}}{\rm{,}}{\lambda _{\rm{2}}}{\rm{,}} \cdots ,{\lambda _k})$

${{\rm{P}}_{{\rm{m*k}}}}{\rm{ = [}}{p_1},{p_2}, \cdots ,{p_k}{\rm{]}}$

PCA降維之後，樣本數目仍爲n，特徵數目變爲k，降維公式：
${{\rm{\tilde X}}_{{\rm{n*k}}}}{\rm{ = XP}}$
注：重構公式是(X’是X降維後重構得到的矩陣)：
${\rm{X' = }}{{\rm{\tilde X}}_{{\rm{n*k}}}}{{\rm{P}}^{\rm{T}}}{\rm{ = XP}}{{\rm{P}}^{\rm{T}}}$

$T^2$統計量的計算

對於新樣本$x_{new(m*1)}$，(注：應使用訓練樣本歸一化的參數對新樣本歸一化操作)，其$T^2$統計量計算公式如下：
${\rm{T2 = }}x_{new}^T{\rm{P}}{{\rm{S}}^{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{P}}^T}{x_{new}}{\rm{ = }}\left\| {{{\rm{S}}^{ - 1/2}}{{\rm{P}}^T}{x_{new}}} \right\|_2^2$
其中$S^{-1/2}$表示對矩陣中每個非零元素（非零的那些$\lambda$）取-1/2指數。${\left\| \bullet \right\|_2}$是向量2範數。

$T^2$統計量的控制限計算公式：
${{\rm{T}}_\alpha }{\rm{ = }}\frac{{{\rm{k(}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 1)}}}}{{{\rm{n(n - k)}}}}{F_\alpha }({\rm{k,n - k}})$
其中，${1-\alpha}$是置信度，${F_\alpha }({\rm{k,n - k}})$是服從第一自由度爲k，第二自由度爲n-k的F分佈。

注：由於不同地方似乎對$\alpha$稱呼不一致，此處特指滿足一下概率公式的$\alpha$：
$P{\rm{\{ F(}}{{\rm{n}}_{\rm{1}}}{\rm{,}}{{\rm{n}}_{\rm{2}}}{\rm{) > }}{{\rm{F}}_\alpha }{\rm{(}}{{\rm{n}}_{\rm{1}}}{\rm{,}}{{\rm{n}}_{\rm{2}}}{\rm{)\} = }}\alpha$
所以，在此定義下，$\alpha$取值通常爲0.01左右。由於定義相反，有的文獻則是0.99左右。

故障判定

如系統正常運行，則樣本的$T^2$值應該滿足${T^2}<{T_{\alpha}}$，反之，可認爲出現故障。

參考鏈接：

https://wenku.baidu.com/view/b9ef2df9dd3383c4bb4cd2e0.html

SPE統計量（也稱Q統計量）的計算

對於新樣本$x_{new(m*1)}$，其$SPE$統計量計算公式如下：
${\rm{SPE = }}x_{{\rm{new}}}^{\rm{T}}({\rm{I - P}}{{\rm{P}}^{\rm{T}}}){x_{{\rm{new}}}}$
$SPE$統計量的控制限計算公式：
${{\rm{Q}}_\alpha }{\rm{ = }}{\theta _1}{[\frac{{{c_\alpha }{h_0}\sqrt {2{\theta _2}} }}{{{\theta _1}}} + 1 + \frac{{{\theta _2}{h_0}({h_0} - 1)}}{{\theta _1^2}}]^{1/{h_0}}}$
其中：
${\theta _{\rm{r}}}{\rm{ = }}\sum\limits_{j = k + 1}^{\rm{m}} {\lambda _j^r(r = 1,2,3)}$

${h_0} = 1 - \frac{{2{\theta _1}{\theta _3}}}{{3\theta _2^2}}$

$c_{\alpha}$是標準正態分佈的置信極限，滿足如下公式：
$P{\rm{\{ N(0,1) > }}{{\rm{N}}_{{{\rm{c}}_\alpha }}}{\rm{(0,1)\} = }}{{\rm{c}}_\alpha }$
所以，這種定義方式下$\alpha$也是取值0.01左右。

故障判定

如系統正常運行，則樣本的$SPE$值應該滿足${SPE}<{Q_{\alpha}}$，反之，可認爲出現故障。

參考鏈接：

https://wenku.baidu.com/view/b9ef2df9dd3383c4bb4cd2e0.html

https://wenku.baidu.com/view/f8b6c51c08a1284ac9504339.html