Leet Code 069 Sqrt(x)

實現 int sqrt(int x) 函數。

計算並返回 x 的平方根，其中 x 是非負整數。

由於返回類型是整數，結果只保留整數的部分，小數部分將被捨去。

示例 1:

輸入: 4
輸出: 2
示例 2:

輸入: 8
輸出: 2
說明: 8 的平方根是 2.82842...,
     由於返回類型是整數，小數部分將被捨去。```

思路一：暴力循環


```python
class Solution:
    def mySqrt(self, x):
        i = 0
        while i * i <= x:
            if i * i <= x and (i + 1) * (i + 1) > x:
                return i
            i += 1

思路二：二分

class Solution:
    def mySqrt(self, x: int) -> int:
        if x == 0 or x == 1: return x

        l,r = 1,x
        while l <= r:
            mid = (r+l)//2
            if mid <= x//mid and mid+1 > x//(mid+1):
#                 考慮 mid^2可能超出int界限 使用x//mid更安全
                return mid
            elif mid > x//mid:
                r = mid - 1
            else:
                l = mid + 1

思路三：牛頓法求開方

1,求方程f(x)=0的根即求曲線y=f(x)與y=0的交點的橫座標.

2,牛頓法:也就是從估計點x0出發,以y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)作爲對y=f(x)的估計,求得根x1.其中x1=x0-f(x0)/f'(x0)
依次迭代.

3,這裏就是對曲線y=f(x),使用經過(x0,f(x0))點的切線,進行近似f(x).顯然該切線的斜率等於曲線的斜率k=f'(x0),那麼該切線的方程爲y=f'(x0)(x-x0)+f(x0).(這裏是牛頓法的核心,也就是使用切線對曲線進行近似)

4,對於求開方也就是求x^2=a的解, 這裏f(x)=x^2-a, f'(x)=2x.所以利用上式:以y=2x0(x-x0)+x0^2,則其根爲x1=x0-(x0^2-a)/2x0=(x0+a/x0)/2

5,例子x^2=2.
x0=2,
x1=(2+0.5)/2=1.4998
x2=(x1+1/x1)/2=1.4167
x3=1.4142
…

class Solution:
    def mySqrt(self, x):
        t = x
        while t ** 2 > x:
            t = (t + x//t) // 2
        return t

附上有精度的二分求開方代碼

def fun(x, f=1e-6):
    if x == 0 or x == 1: return x
    l,r = 0,x
    while l <= r:
        mid = (l+r)/2
        if abs(mid**2 - x) < f:
            return mid
        elif mid ** 2 > x:
            r = mid
        else:
            l = mid

fun(2)

1.4142136573791504

import math
math.sqrt(2)

1.4142135623730951