(wqs二分)CF739E Gosha is hunting

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這篇林克卡特樹+簡單的wqs二分/凸優化是來騙訪問量的

Solution

這其實是個$wqs$二分套$wqs$二分
$\mathcal{O(nab)}$的$dp$很好寫
我們要做的是用凸優化，把時間複雜度降到$\mathcal{O(n\log a\log b)}$
顯然這是一個凸函數，爲什麼呢？

因爲你每次多用一個Poke Ball或者一個Ultra Ball能增加的捕捉到的Pokemons的期望一定比前一次的來得少
所以它的導數一定是遞減的所以它是凸的
(不要以爲遞增函數一定不是凸函數，這是片面的理解)

所以我們可以在$a$這一維上進行$wqs$二分，也可以在$b$這一維上進行
每次$dp$轉移的時候就只需要$\mathcal{O(n)}$的時間，每用一個Poke Ball減少$mid$的$dp$值，用Ultra Ball也是一樣的

Warning

判斷$dp$的$a,b$與我們現有的$a,b$比較時，要用>=不能用>

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define T 40
#define N 2010
using namespace std;
typedef double LD;
const LD INF = 1e5;

LD u[N], v[N], q[N], L, R;
int n, a, b;

struct Node{
    LD val;
    int a, b;
    Node(LD V = 0, int A = 0, int B = 0) {
        val = V; a = A; b = B;
    }
    inline bool operator < (const Node &o) const {
        return val < o.val;
    }
    inline Node operator + (const Node &o) const {
        return Node(val + o.val, a + o.a, b + o.b);
    }
}dp[N];


inline void check_agn(LD x, LD y) {
    dp[0] = Node();
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        dp[i] = Node(-INF, 0, 0);
        dp[i] = max(max(dp[i - 1], dp[i - 1] + Node(q[i] - x - y, 1, 1)), max(dp[i - 1] + Node(u[i] - x, 1, 0), dp[i - 1] + Node(v[i] - y, 0, 1)));
    }
}

inline void check(LD v) {
    L = 0, R = 1;
    for (int i = 1; i <= T; ++i) {
        LD mid = (L + R) / 2;
        check_agn(v, mid);
        if (dp[n].b >= b) L = mid;
        else R = mid;
    }
    check_agn(v, L);
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &a, &b);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%lf", &u[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%lf", &v[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        q[i] = u[i] + v[i] - u[i] * v[i];
    }
    LD l = 0, r = 1;
    for (int i = 1; i <= T; ++i) {
        LD mid = (l + r) / 2;
        check(mid);
        if (dp[n].a >= a) l = mid;
        else r = mid;
    }
    check(l);
//	printf("%.5Lf %.5Lf\n %d %d \n", l, L, dp[n].a, dp[n].b);
    printf("%.5lf\n", dp[n].val + l * a + L * b);
    return 0;
}