决策树--ID3算法

    ID3算法也叫决策树归纳算法，不是很使用，但是是决策树算法的开山之作，这里简单说下

熵

在信息论中，熵（entropy）是随机变量不确定性的度量，也就是熵越大，则随机变量的不确定性越大。设X是一个取有限个值得离散随机变量，其概率分布为：

则随机变量X的熵定义为：

条件熵

设有随机变量（X, Y），其联合概率分布为：

条件熵H(Y|X)表示在已知随机变量X的条件下，随机变量Y的不确定性。随机变量X给定的条件下随机变量Y的条件熵H(Y|X)，定义为X给定条件下Y的条件概率分布的熵对X的数学期望：

当熵和条件熵中的概率由数据估计得到时（如极大似然估计），所对应的熵与条件熵分别称为经验熵和经验条件熵。

表示获取信息的不确定性大小。

信息增益

定义：信息增益表示由于得知特征A的信息后儿时的数据集D的分类不确定性减少的程度，定义为：

Gain(D,A) = H(D) – H(D|A)

             即集合D的经验熵H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵H(H|A)之差。

理解：选择划分后信息增益大的作为划分特征，说明使用该特征后划分得到的子集纯度越高，即不确定性越小。因此我们总是选择当前使得信息增益最大的特征来划分数据集。

缺点：信息增益偏向取值较多的特征（原因：当特征的取值较多时，根据此特征划分更容易得到纯度更高的子集，因此划分后的熵更低，即不确定性更低，因此信息增益更大）

算法原理

输入：训练数据集D，特征集A，阈值ε；

输出：决策树T.

1. 树以代表训练样本的单个结点开始（步骤1）。
2. 如果样本都在同一个类，则该结点成为树叶，并用该类标号（步骤2 和3）。
3. 否则，算法使用称为信息增益的基于熵的度量作为启发信息，选择能够最好地将样本分类的属性（步骤6）。该属性成为该结点的“测试”或“判定”属性（步骤7）。在算法的该版本中，
4. 所有的属性都是分类的，即离散值。连续属性必须离散化。
5. 对测试属性的每个已知的值，创建一个分枝，并据此划分样本（步骤8-10）。
6. 算法使用同样的过程，递归地形成每个划分上的样本判定树。一旦一个属性出现在一个结点上，就不必该结点的任何后代上考虑它（步骤13）。
7. 递归划分步骤仅当下列条件之一成立停止：
8. (a) 给定结点的所有样本属于同一类（步骤2 和3）。
9. (b) 没有剩余属性可以用来进一步划分样本（步骤4）。在此情况下，使用多数表决（步骤5）。
10. 这涉及将给定的结点转换成树叶，并用样本中的多数所在的类标记它。替换地，可以存放结
11. 点样本的类分布。
12. (c) 分枝
13. test_attribute = a i 没有样本（步骤11）。在这种情况下，以 samples 中的多数类
14. 创建一个树叶（步骤12）

Python代码实现