與數論的廝守05:gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)的證明

\[ 設c=gcd(a,b)，那麼a可以表示爲mc，b可以表示爲nc的形式。然後令a=kb+r，那麼我們就\\ 只需要證明gcd(b,r)=c即可。{\because}r=a-kb=mc-knc，{\therefore}gcd(b,r)=gcd(nc,mc-knc)\\ =gcd(nc,(m-kn)c)，所以我們只需要證gcd(n,m-kn)=1即可。\\ 設n=xd,m-kn=yd，那麼m=kn+yd=kxd+yd，進而a=(kx+y)cd,b=xcd\\ ，於是gcd(a,b)就可以表示爲gcd((kx+y)cd,xcd)=cd，如果要讓它等於c，那麼d=1，即\\ gcd(n,m-kn)=1。 \]

放上模板代碼：

int gcd(int a,int b){
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
//壓行之後:
int gcd(int a,int b){ return b?gcd(b,a%b):a; }