參考轉自：https://www.cnblogs.com/mazhenyu/p/6401683.html

概述

計算機顯示器是一個2D平面。OpenGL渲染的3D場景必須以2D圖像方式投影到計算機屏幕上。GL_PROJECTION矩陣用於該投影變換。首先，它將所有定點數據從觀察座標轉換到裁減座標。接着，這些裁減座標通過除以w分量的方式轉換到歸一化設備座標（NDC）。

因此，我們需要記住一點：裁減變換（視錐剔除）與NDC變換都保存在GL_PROJECTION矩陣中。下述章節描述如何從6個限定參數（左、右、下、上、近平面、遠平面）構建投影矩陣。

注意，視錐剔除（裁減）在裁減座標上執行，並且在除以wc之前。裁減座標xc、yc、zc會與wc做比較檢測。如果任一座標小於-wc或大於wc，則該頂點將會拋棄。

接着，OpenGL重新構建那些裁減掉的多邊形的邊。

被視錐裁減的三角形

透視投影

OpenGL透視視錐體與NDC

在透視投影中，截棱錐體（觀察座標）中的3D點會被映射到立方體（NDC）中。x座標的範圍從[l,f]到[-1,1]，y座標的範圍從[b,t]到[-1,1]，z座標的範圍從[n,f]到[-1,1]。

注意，觀察座標爲右手座標系，NDC使用左右座標系。也就是說，位於原點的照相機在觀察座標中看向-Z軸，而在NDC中看向+Z軸。因爲glFrustum()只接收正的近平面與遠平面距離值，我們需要在構建GL_PROJECTION矩陣時對他們取反。

OpenGL中，觀察空間中的3D點被投影到近平面（投影平面）上。下圖展示觀察空間中的點(xe,ye,ze)如何投影到近平面上的點(xp,yp,zp)。

視錐體的俯視圖

視錐體的側視圖

從視錐體的俯視圖看出，使用相似三角形比率計算方式將觀察空間的x座標xe被映射到xp。

從視錐體的側視圖看出，yp也使用相同的方式計算出：

注意，xp與yp二者都依賴於ze，它們與-ze成反比例。也就是說，它們都被-ze除。這是構建GL_PROJECTION矩陣的第一點提示。在觀察座標通過與GL_PROJECTION矩陣相乘變換之後，裁減座標依舊是其次座標。它最終通過除以裁減座標的w分量才變成歸一化設備座標（NDC）。（更詳細描述參考OpenGL變換。）

因此，我們可以將裁減座標的w分量設置爲-ze。這樣，GL_PROJECTION矩陣的第四行變爲(0,0,-1,0)。

接着，我們通過線性關係將xp與yp映射到NDC中的xn與yn：[l,r]=>[-1,1]，[b,t]=>[-1,1]。

映射xp到xn

映射yp到yn

然後,我們用上面的方程式替換xp與yp。

注意，我們爲透視除法（xc/wc, yc/wc）將每個等式相被-ze整除。前面我們已經將wc設置爲-ze，大括號中的項爲裁減座標中xc與yc。

從這個等式，我們可以發現GL_PROJECTION矩陣的第一與第二行。

現在，我們僅僅解決GL_PROJECTION矩陣的3行。由於觀察空間中的ze總是投影到近平面上的-n點，zn的計算方法與其他座標的計算方法有稍許不同。不過我們需要唯一的z值來進行裁剪與深度測試。此外，我們也會進行逆投影（逆變換）操作。因爲，我們知道z並不依賴於x與y的值，我們藉助w分量找尋zn與ze之間的關係。因此，我們可以像這樣指定GL_PROJECTION矩陣的第三行：

在觀察空間，we等於1。因此，等式變爲：

爲了計算係數A與B，我們使用(ze,zn)關係式(-n,-1)與(-f,1)，且將它們帶入到上述等式。

爲了求解A與B，重寫等式(1)：

將等式(1')帶入等式(2)，然後求解A：

將A帶入等式(1)中，求出B：

我們解出A與B。因此ze與zn的關係變爲：

最後，我們解出GL_PROJECTION矩陣的所有元素。完整的投影矩陣爲：

OpenGL透視投影矩陣

該投影矩陣爲通用截面體。如果視錐體爲對稱的，即r=-l且t=-b，則矩陣可簡化爲：

在開始後面講述之前，請回顧ze與zn之間的關係：等式(3)。你會注意到它是一個有理數方程且ze與zn並非線性關係。也就是說近平面具有非常高的精度，而遠平面的精度很低。如果[-n,-f]的範圍變得很大，會引起深度精度問題（深度衝突）：遠平面附近ze的小變化不會影響zn值。爲了最小化深度緩存精度問題，n與f的距離應該儘可能小。

深度緩存精度比較