面試題：計算 n！階乘的結果的末尾有幾個0

前言

首先基於一個事實：我們不可能真的把 n! 的結果計算出來，再去數結果的末尾有幾個0；n 很小還好，如果n很大，甚至趨近於無窮大，我們是不可能這樣做的。原因主要有二：

1. 一般計算機的計算能力和存儲能力也有限，是計算不出那麼大的數的。
2. 即使計算機能算出來，這樣做也很耗時，可能要算很久。

連計算機都算不出來，那我們怎麼辦呢？別慌，雖然我們不能直接算出結果，但我們可以把問題一步步拆解。

拆解思路

首先，我們想什麼情況下會產生一個0？

誒，一個數乘以 10，在末尾就會多出一個 0。而 10 = 5 * 2。

一組數相乘的結果末尾有幾個0，取決於這組數因式分解後有**幾對 **5 和 2 的因子。

針對於 n! 這個題目，有這樣一個事實：把相乘的數因式分解後，2 的個數肯定大於 5 的個數。

所以，這個問題可以拆解爲：只要求出因式分解後有幾個 5 的因子即可，5的個數即是末尾出現的0的個數。

解法一：直接法

這種解法的思路是：直接將 n! 中的每個數，按照 5 來因式分解，最後把出現的 5 的個數加起來。

public int calculateZeroInFactorial(int n) {
  int count = 0;
  // 循環判斷所有的乘數
  for (int i = n; i > 0; i++) {
    if (i % 5 == 0) {
      // 如果這個乘數可以對 5 進行因式分解，再看這個乘數可以分解出幾個5
      int a = i;
      while(a % 5 == 0) {
        a = a / 5;
        count++;
      }
    }
  }
  return count;
}

但是這種算法的時間複雜度爲 O(nlog(n))，那有沒有更快的算法呢？

解法二： log(n) 解法

分析：

1. n! 這些乘數中，每隔 5 個數，肯定會有一個數至少能拆出一個 5 因子。所以 n / 5 = 至少會出現的 5 的個數。
2. 上面說至少，因爲 n / 5 並不能完全算出 5 因子的個數，比如若某個數 25 = 5 * 5，分解後得到的 5 也算一個，所以能被 25 因式分解相當於會出現 2 個 5 因子，而第一步中除以 5 算個數的時候已經算了一個了，所以相當於比之前會多一個 5 因子。
3. 依此類推，能被 25 * 5 = 125 因式分解的相當於比之前按 25 因式分解的時候又多出一個 5 因子。能被 125 * 5 = 625 因式分解的相當於比按 125 因式分解時又多出一個 5 因子。還有 625 * 5 ……

所以，n! 的結果可以拆分爲多少個 5 因子呢？

n/5 + n/25 + n /125 + n/625 + ….

比如 128！的階乘的結果末尾有幾個0呢？

128/5 +128/25 + 128/125 = 25+5+1 = 31 個

又如：1247! 的階乘的結果末尾有幾個0呢？

1247/5 + 1247/25 + 1247/125 + 1247/625 = 249+49+9+1 = 308 個

public int calculateZeroInLogN(int n) {
  int count = 0;
  while (n > 0) {
    count += n / 5;
    n /= 5;
  }
  return count;
}

這種算法的時間複雜度爲 O(log(n))，效率會高很多，而且僅需幾行代碼。