BFPRT
bfprt算法是用來求數組中第k小的元素的算法，bfprt算法可以在O（n）時間內求出答案。
算法思想
對於求數組中第k小的元素的問題，我們已經有很好的常規算法了，這個算法在最好的情況下時間複雜度是O（n），但在最壞的情況下是O（n^2）的，其實bfprt算法就是在這個基礎上改進的。
常規解法
我們隨機在數組中選擇一個數作爲劃分值（number），然後進行快排的partation過程（將小於number的數放到數組左邊，等於number的數放到數組中間，大於number的數放到數組右邊），然後判斷k與等於number區域的相對關係，如果k正好在等於number區域，那麼數組第k小的數就是number，如果k在等於number區域的左邊，那麼我們遞歸對左邊再進行上述過程，如果k在等於number區域的右邊，那我們遞歸對右邊再進行上述過程。
對於常規解法，我們分析一下它的時間複雜度：
遞歸函數複雜度計算：
T(N)=a*T(N/b)+o(N^d);
當log(b,a)>d時 複雜度爲O（N^log(b,a）);
當log(b,a)=d時 複雜度爲O（N^d*log(2,N));
當log(b,a)<d時 複雜度爲O（N^d);
N爲樣本數據個數 即數組中元素的個數。
N/b爲將這N個數劃分爲更小的部分，每個部分的樣本數據個數，一般爲均分，那麼b等於2。
a爲劃分爲多個部分後，小部分執行的次數。
d爲遞歸函數調用完成後剩下的操作的時間複雜度。
對於最好的情況：每次所選的number正好在數組的正中間，那麼上式中a等於1，b等於2，對於partation過程，時間複雜度是O（n），所以d等於1。所以T（N）= T（N/2）+ O（N），此時 log( 2 , 1 ) < 1，故時間複雜度爲O（N）。
對於最壞情況：每次所選的number正好在數組最邊上，那麼時間複雜度爲O（N ^ 2）.
bfprt算法就是在這個number上做文章，bfprt算法能夠保證每次所選的number在數組的中間位置，那麼時間複雜度就是O（N）。
bfprt解法：
bfprt解法和常規解法唯一不同的就是在number的選取上，其他地方一模一樣，所以我們只講選取number這一過程。
第一步：我們將數組每5個相鄰的數分成一組，後面的數如果不夠5個數也分成一組。
第二步：對於每組數，我們找出這5個數的中位數，將所有組的中位數構成一個median數組（中位數數組）。
第三步：我們再求這個中位數數組中的中位數，此時所求出的中位數就是那個number。
第四步：通過這個number進行partation過程，下面和常規解法就一樣了。
接下來我們分析一下爲什麼bfprt算法每次選number的時候都能夠在數組的中間位置。
我們假設這就是分出來的每5個數的小組，每一列代表一個小組。
圖中紅框內的數我們假設就是每一組的中位數。我們假設總數組的數字個數是N，那麼中位數數組中數字的個數就是 N / 5 。
我們假設用藍框框起來的數是中位數數組的中位數（divide），那麼由中位數的性質可知，中位數數組中有一半的數比這個divide大，所以總共有 N / 10個數比這個divide大。
用紫色框框出的數肯定也是比divide大，所以至少有N / 10 + ( 2*N ) / 10 = ( 3*N ) / 10 個數比divide大，那麼以divide爲劃分的partation過程能夠使得divide在數組的靠近中間的位置，最壞情況也能夠在數組的 ( 3*N ) / 10 或者 ( 7*N ) / 10 的位置。時間複雜度爲O（N）。本文轉自https://blog.csdn.net/qq_40938077/article/details/81213820#commentsedit
代碼如下：見BFPRT算法GITHUB
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[2];
int bfprt(int root[],int begin,int end,int k);//這是核心函數，表示在root數組的begin位置到end位置上找出第k小的元素
int getmedian(int root[],int beginI,int endI)//這個函數求的是在root數組中beginI位置到endI位置上的中位數（其實就是求由每5個數所分成的小組的小組內的中位數）
{
sort(root+beginI,root+endI+1);
int sum=beginI+endI;
int mid=(sum/2)+(sum%2);//這個地方加上sum%2是爲了確保偶數個數時我們求的是中間兩個數的後一個
return root[mid];
}
int medianOfMedians(int root[],int star,int finish)//這個函數是將root數組star位置到finish位置分成每5個數一個小組，並求出每個小組內的中位數
{
int num=finish-star+1;//求出長度
int offset=num%5==0?0:1;//最後如果剩餘的數不足5個，我們也將其分成一個小組，和前面同等對待
int range=num/5+offset;
int median[range];//這個數組存的是每個小組內的中位數
for(int i=0;i<range;i++)//依次往median數組中填數
{
int beginI=star+i*5;//第i組數對應root數組上的位置
int endI=beginI+4;
median[i]=getmedian(root,beginI,min(endI,finish));
}
return bfprt(median,0,range-1,range/2);//求出生成好的median數組的中位數，作爲partation函數的劃分值
}
void swap(int root[],int a,int b)
{
int temp=root[a];
root[a]=root[b];
root[b]=temp;
}
void partation(int root[],int beginJ,int endJ,int number)//partation函數求的是等於number的範圍
{
int less=beginJ-1;
int more=endJ+1;
int cur=beginJ;
while (cur<more)
{
if(root[cur]<number)
{
less++;
swap(root,cur,less);
cur++;
}
else if(root[cur]==number)
cur++;
else
{
more--;
swap(root,cur,more);
}
}
a[0]=less+1;
a[1]=more-1;
}
int bfprt(int root[],int begin,int end,int k)
{
if(begin==end)//數組中只有一個數時，直接返回
return root[begin];
int divide=medianOfMedians(root,begin,end);//求出以哪個數作爲劃分值
partation(root,begin,end,divide);//注意，進行完partation過程後，root數組已經不是無序的了
if(k>=a[0]&&k<=a[1])//如果需要求的數正好在等於區域，直接返回root[k]
return root[k];
else if(k<a[0])//此時我們要找的數比divide小，遞歸求前半部分
return bfprt(root,begin,a[0]-1,k);
else if(k>a[1])//此時我們要找的數比divide大，遞歸求後半部分
return bfprt(root,a[1]+1,end,k);
}
int main()
{
int n,k;
int root[100000];
while (cin>>n)
{
cin>>k;
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>root[i];
cout<<bfprt(root,0,n-1,k-1)<<endl;
memset(root,0,sizeof(root));
memset(a,0,sizeof(a));
}
}